小题专练04-2021届高考数学二轮复习新高考版（含解析）

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小题专练 04
三角函数、平面向量与解三角形(B)
一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
1.(考点:正弦定理, )★已知在△ABC 中,A=30°,a=7,则
a+b+c
sin A+sin B+sinC
=( ).
A.16 B.15 C.14 D.13
2.(考点:两向量垂直的性质, )★已知 a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b)⊥b,则实数 λ的值为( ).
A.
-3+
√
41
4
或
-3 -
√
41
4
B.
- 3 -
√
41
4
C.
-3+
√
41
4
D.2
3.(考点:平面向量的坐标运算, )★★ 已知向量
⃗
OM
=(3,0),
⃗
ON
=(0,1),
⃗
MP
=t
,则当|
⃗
OP
|取最小值时,实数 t=(
).
A.
1
5
B.
1
2
C.
9
10
D.1
4.(考点:三角恒等变换, )★★ 已知 cos
(
π
10 -α
)
=
2
5
,则cos
(
9π
5+2α
)
的值为( ).
A.
1
9
B.
17
25
C.-
1
9
D.-
17
25
5.(考点:三角函数的图象与性质, )★★ 将函数 f(x)=sin
(
2x-π
3
)
的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度,得到函数
g(x)的图象,且g(-x)=g(x),则φ的一个可能值为( ).
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
12
6.(考点:平面向量的数量积, )★★ 已知在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D,E分别为 AB,BC 的中点,则
⃗
AE
·
⃗
CD
=
( ).
A.
14 -3
√
3
8
B.
3
√
3
8
C.2 D.1
7.(考点:三角恒等变换及函数的性质, )★★★ 已知函数 f(x)=cos
(
2x-π
6
)
-2
√
3
sin
(
x+π
4
)
cosx+
π
4
,xR,∈给出下
列四个结论:
①函数 f(x)的最小正周期为 4π;
1
②函数 f(x)的最大值为 1;
③函数 f(x)在
[
-π
4,π
4
]
上单调递增;
④将函数 f(x)的图象向左平移
π
12
个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 g(x)=sin 2x.
其中正确结论的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(考点:解三角形的实际应用, )★★★ 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱
的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A处测得水柱顶端的仰角为 30°,沿点 A向北偏东 60°方向前进 10 m
到达点 B,在点 B处测得水柱顶端的仰角为 45°,则水柱的高度是( ).
A.5 m B.10 m
C.10 m 或5 m D.15 m
二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对
的得 5分,部分选对的得 3分,有选错的得 0分.
9.(考点:平面向量, )★★ 已知 a,b是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是( ).
A.|a+2b|=
√
5
B.a 与b垂直
C.a 与a-2b的夹角为
π
4
D.|a-2b|=5
10.(考点:三角函数的基本性质, )★★ 下列命题正确的是( ).
A.若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan β
B.函数 y=sin(π-2x)是偶函数
C.y=sin|x|是周期为 2π 的周期函数
D.函数 y=cos
(
x+π
3
)
的图象关于点
(
π
6, 0
)
成中心对称
11.(考点:解三角形, )★★ 在△ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角 B的值可能为(
).
A.
π
6
B.
π
3
C.
5π
6
D.
2π
3
12.(考点:三角恒等变换及函数的性质, )★★★ 已知函数 f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,xR,∈则下列结论正确的是(
).
A.-
√
2
≤f(x)≤
√
2
2
B.f(x)在区间
(
π
8,5π
8
)
上只有 1个零点
C.2π 为f(x)的一个周期
D.直线 x=
π
2
为f(x)图象的一条对称轴
三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共20 分.
13.(考点:三角函数的性质, )★★ 函数 f(x)=cos2x-2sin x的最大值为
.
14.(考点:平面向量的数量积, )★★ 若|a|=
√
3
,|b|=4,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角的余弦值是
.
15.(考点:利用正、余弦定理解三角形, )★★ 已知 a,b,c分别为△ABC 的三个内角 A,B,C的对边,若c=
√
3
,b=
√
6
,B=150°,则△ABC 的面积为
.
16.(考点:三角恒等变换及函数的性质, )★★★ 设函数 f(x)=sin 2x+2cos2x,则函数 f(x)的最小正周期为
;
若对于任意 xR,∈都有 f(x)≤m成立,则实数 m的取值范围为
.
答案解析：
一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
1.(考点:正弦定理, )★已知在△ABC 中,A=30°,a=7,则
a+b+c
sin A+sin B+sinC
=( ).
A.16 B.15 C.14 D.13
【解析】依题意,利用正弦定理可得
a
sin A
=2R=
7
sin 30°
=14,
所以
a+b+c
sin A+sin B+sinC
=
2R(sin A+sin B+sin C)
sin A+sin B+sin C
=2R=14.
【答案】C
2.(考点:两向量垂直的性质, )★已知 a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b)⊥b,则实数 λ的值为( ).
A.
-3+
√
41
4
或
-3 -
√
41
4
B.
- 3 -
√
41
4
C.
-3+
√
41
4
D.2
【解析】由题意可得 3a-2b=(4,-3-2λ),
3
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