小题满分练8（解析版）

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小题满分练 8
一、单项选择题
1．设集合
A
＝{
y
|
y
＝2
x
，
x
∈R}，
B
＝{
x
|
y
＝}，则
A
∩
B
等于(　　)
A．{1} B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1]
【答案】　D
【解析】　∵
A
＝{
y
|
y
>0}，
B
＝{
x
|
x
≤1}，∴
A
∩
B
＝(0,1]．
2．复数等于(　　)
A．2－i B．1－2i
C．－2＋i D．－1＋2i
【答案】　C
【解析】　＝＝－2＋i.
3．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或
游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数
占该校学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56% C．46% D．42%
【答案】　C
【解析】　用 Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为
x
，
则(60%－
x
)＋(82%－
x
)＋
x
＝96%，解得
x
＝46%.
4. (2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投
射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为
O
)，地球上一点
A
的纬度是指
OA
与地球赤道所在平面所成角，点
A
处的水平面是指过点
A
且与
OA
垂直的平面．在点
A
处放
1
置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点
A
处的纬度为北纬 40°，则晷针与点
A
处的水
平面所成角为(　　)
A．20° B．40° C．50° D．90°
【答案】　B
【解析】　如图所示，⊙
O
为赤道平面，⊙
O
1为
A
点处的日晷面所在的平面，
由点
A
处的纬度为北纬 40°可知∠
OAO
1＝40°，
又点
A
处的水平面与
OA
垂直，晷针
AC
与⊙
O
1所在的面垂直，
则晷针
AC
与水平面所成角为 40°.
5．(2020·郑州模拟)将函数
f
(
x
)＝2sin 图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标
不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数
g
(
x
)的图象，在
g
(
x
)图象的所有对称轴
中，离原点最近的对称轴方程为(　　)
A．
x
＝－ B．
x
＝
C．
x
＝ D．
x
＝
【答案】　A
【解析】　将函数
f
(
x
)＝2sin 图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
得
y
＝2sin，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数
g
(
x
)的图象，
则
g
(
x
)＝2sin＝2sin，
由 4
x
＋＝＋
k
π，
k
∈Z，得
x
＝
k
π－，
k
∈Z，
当
k
＝0 时，所得对称轴离原点最近，即离原点最近的对称轴方程为
x
＝－.
2
6．已知定义在 R上的函数
f
(
x
)，对任意
x
∈R，都有
f
(
x
＋6)＝
f
(
x
)＋
f
(3)成立，若函数
y
＝
f
(
x
＋1)的图象关于直线
x
＝－1 对称，则
f
(2 025)等于(　　)
A．0 B．2 025 C．3 D．－2 013
【答案】　A
【解析】　∵函数
y
＝
f
(
x
＋1)的图象关于直线
x
＝－1 对称，
∴函数
y
＝
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝0，即
y
轴对称，
∴
y
＝
f
(
x
)为 R上的偶函数，
又对任意
x
∈R，均有
f
(
x
＋6)＝
f
(
x
)＋
f
(3)，
令
x
＝－3，得
f
(6－3)＝
f
(－3)＋
f
(3)＝2
f
(3)，
∴
f
(3)＝0，∴
f
(
x
＋6)＝
f
(
x
)，
∴函数
y
＝
f
(
x
)是以 6 为周期的函数，
∴
f
(2 025)＝
f
(337×6＋3)＝
f
(3)＝0.
7. (2020·大庆模拟)已知双曲线－＝1(
a
>0，
b
>0)与函数
y
＝(
x
≥0)的图象交于点
P
，若函
数
y
＝的图象在点
P
处的切线过双曲线左焦点
F
(－4,0)，则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　设
P
的坐标为(
m
，)，
又左焦点
F
(－4,0)，函数的导数
y
′＝，
则在
P
处的切线斜率
k
＝
y
′|
x
＝
m
＝＝，
即
m
＋4＝2
m
，得
m
＝4，
则
P
(4,2)，设右焦点为
A
(4,0)，
3
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