小题满分练5（解析版）

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小题满分练 5

一、单项选择题

1．已知集合 A＝{x|x2＋x－2<0}，集合 B＝，则 A∩B 等于(　　)

A． ∅B．{x|x<1}

C．{x|0<x<1} D．{x|－2<x<0}

【答案】　D

【解析】　因为 A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<0 或 x>1}，所以 A∩B＝{x|－2<x<0}．

2．已知复数 z 满足(1＋i)z＝1－i，其中 i 是虚数单位，则|z|的值为(　　)

A．1 B. C．－1 D．－

【答案】　A

【解析】　因为 z＝＝＝－i，所以|z|＝1.

3．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量 a，b的夹角为 60°，则在下列向量中，与 b垂直的是(

)

A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b

【答案】　D

【解析】　由题意得|a|＝|b|＝1，a，b的夹角 θ＝60°，

故a·b＝|a||b|cos θ＝.

对 A 项，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0；

对 B 项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0；

对 C 项，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0；

对 D 项，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.

4．“ln x>ln y”是“x<y”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】　A

【解析】　由 ln x>ln y，得 x>y>0，此时 x<y<y；反之 x<y成立时，可以取 x＝－1，y＝－

2，不能推出 ln x>ln y．故“ln x>ln y”是“x<y”的充分不必要条件．

5．若函数 f(x)＝x3－2ln x＋4，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝x＋4 B．y＝x－3

C．y＝2x＋3 D．y＝3x＋2

【答案】　A

【解析】　依题意知 f(1)＝5，f′(x)＝3x2－，f′(1)＝1，

由点斜式得 y－5＝x－1，即切线方程为 y＝x＋4.

6.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为，则从 A 到 B 这部分电路能通

电的概率为(　　)

A. B. C. D.

【答案】　A

【解析】　从 A 到 B 电路不能正常工作的概率为

P1＝×

＝×＝，

所以从 A 到 B 电路能正常工作的概率为

P＝1－P1＝1－＝.

7．(2020·重庆模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)，若

椭圆上一点 P 满足 PF2⊥x 轴，且 PF1与圆 x2＋y2＝相切，则该椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

【答案】　A

【解析】　设 PF1与圆 x2＋y2＝相切于点 Q，则|OQ|＝，

|F1Q|＝＝c，

∵△OF1Q∽△PF1F2，

∴＝＝，

即＝＝＝，

∴|PF1|＝，|PF2|＝，

由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，

∴＋＝2a，

∴椭圆的离心率为 e＝＝.

8．(2020·济南模拟)在△ABC 中，cos A＋cos B＝，AB＝2.当 sin A＋sin B 取最大值时，

△ABC 内切圆的半径为(　　)

A．2－3 B．2－2 C. D．2

【答案】　A

【解析】　设 sin A＋sin B＝m，

又 cos A＋cos B＝，

两式平方相加得 2＋2cos(A－B)＝m2＋3，

∴m2＝2cos(A－B)－1，∴|m|≤1，

∴当 A＝B 时，(sin A＋sin B)max＝1，

此时 A＝B＝，∴C＝π.

在等腰三角形 ABC 中，又 AB＝2，∴AC＝BC＝2.

设△ABC 内切圆半径为 r，则

(2＋2＋2)r＝×2×2×sin ，

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