小题满分练4（解析版）

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小题满分练 4
一、单项选择题
1．已知集合
A
＝{0,2,4}，
B
＝{
x
|3
x
－
x
2≥0}，则集合
A
∩
B
的子集个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】　C
【解析】　因为
A
＝{0,2,4}，
B
＝{
x
|0≤
x
≤3}，所以
A
∩
B
＝{0,2}，故其子集的个数是 22＝
4.
2．(2020·全国Ⅰ)若
z
＝1＋i，则|
z
2－2
z
|等于(　　)
A．0 B．1 C. D．2
【答案】　D
【解析】　方法一　
z
2－2
z
＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|
z
2－2
z
|＝|－2|＝2.
方法二　|
z
2－2
z
|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
3．已知变量
x
与
y
正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测的数据
算得的线性回归方程可能是(　　)
A.
y
＝0.4
x
＋2.3 B.
y
＝2
x
－2.4
C.
y
＝－2
x
＋9.5 D.
y
＝－0.3
x
＋4.4
【答案】　A
【解析】　因为
x
与
y
正相关，所以排除选项 C，D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心
(3,3.5)，故排除选项 B.
4．已知函数
f
(
x
)＝sin ＋cos ，则(　　)
A．
f
(
x
)的最大值为 2
B．
f
(
x
)的最小正周期为 π
1
C．
f
(
x
)的图象关于
x
＝对称
D．
f
(
x
)为奇函数
【答案】　C
【解析】　
f
(
x
)＝sin，
f
(
x
)max＝，当
x
＝4
k
π＋，
k
∈Z时取最大值，故 A 错误；
f
(
x
)的最小正周期为 4π，故 B 错误；
因为
f
(5π－
x
)＝sin＝sin
＝sin＝sin＝
f
(
x
)，
所以
x
＝为函数图象的对称轴，故 C 正确；
f
(0)＝1≠0，故
f
(
x
)不是奇函数，故 D 错误．
5．函数
y
＝－ln(
x
＋1)的图象大致为(　　)
【答案】　A
【解析】　当
x
>0 时，函数为减函数，排除 B；当－1<
x
<0 时，函数也是减函数，排除 D；又
当
x
＝1 时，
y
＝1－ln 2>0，排除 C；只有 A 满足题意．
6．已知在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
a
＝5，cos
C
＝，△
ABC
的面积
为 3，则
c
等于(　　)
A. B．2 C. D.
【答案】　C
【解析】　因为 cos
C
＝，所以 sin
C
＝，
2
由
S
＝
ab
sin
C
，可得
b
＝2，
根据余弦定理，得
c
2＝
a
2＋
b
2－2
ab
cos
C
＝29－20×＝13，
所以
c
＝.
7．(2020·福州模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数
f
(
x
)满足
xf
′(
x
)－
f
(
x
)<0，其中
f
′
(
x
)是函数
f
(
x
)的导函数．若 2
f
(
m
－2 020)>(
m
－2 020)
f
(2)，则实数
m
的取值范围为(
)
A．(0,2 020) B．(2 020，＋∞)
C．(2 022，＋∞) D．(2 020,2 022)
【答案】　D
【解析】　设
g
(
x
)＝，则
g
′(
x
)＝，
∵
xf
′(
x
)－
f
(
x
)<0 且
x
>0，∴
g
′(
x
)<0，
∴
g
(
x
)在(0，＋∞)上单调递减，
又不等式 2
f
(
m
－2 020)>(
m
－2 020)
f
(2)可化为
>，即
g
(
m
－2 020)>
g
(2)，
∴0<
m
－2 020<2，∴2 020<
m
<2 022.
8．已知
P
为双曲线
C
：－＝1(
a
>0，
b
>0)上一点，
F
1，
F
2为双曲线
C
的左、右焦点，若|
PF
1|
＝|
F
1
F
2|，且直线
PF
2与以
C
的实轴为直径的圆相切，则
C
的渐近线方程为(　　)
A．
y
＝±
x
B．
y
＝±
x
C．
y
＝±
x
D．
y
＝±
x
【答案】　A
【解析】　依据题意作出图象，如图，
3
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