小题满分练3（解析版）

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小题满分练 3

一、单项选择题

1．若集合 M＝{x|x<3}，N＝{x|x2>4}，则 M∩N 等于(　　)

A．(－2,3) B．(－∞，－2)

C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2,3)

【答案】　D

【解析】　∵N＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴M∩N＝(－∞，－2)∪(2,3)．

2．(2020·全国Ⅰ)若 z＝1＋2i＋i3，则|z|等于(　　)

A．0 B．1 C. D．2

【答案】　C

【解析】　∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，

∴|z|＝＝.

3．已知向量 a，b满足|a|＝，|b|＝1，且|b＋a|＝2，则向量 a与b的夹角的余弦值为(

)

A. B. C. D.

【答案】　D

【解析】　由题意可知，

|b＋a|2＝b2＋2a·b＋a2＝3＋2a·b＝4，

解得 a·b＝，

∴cos〈a，b〉＝＝＝.

4．(2020·全国Ⅰ)已知圆 x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最

小值为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】　B

【解析】　圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，

故圆心的坐标为 C(3,0)，半径 r＝3.

如图，记点 M(1,2)，

则当 MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，

此时|MC|＝2，

弦的长度 l＝2＝2＝2.

5．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基

本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新

冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：

天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0

＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为

(ln 2≈0.69)

(　　)

A．1.2 天 B．1.8 天 C．2.5 天 D．3.5 天

【答案】　B

【解析】　由 R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，

得 r＝＝＝0.38.

由题意，累计感染病例数增加 1 倍，

则 I(t2)＝2I(t1)，即＝，

所以＝2，即 0.38(t2－t1)＝ln 2，

所以 t2－t1＝≈≈1.8.

6．已知 a>0，b>0，若不等式－－≤0 恒成立，则 m 的最大值为(　　)

A．4 B．16 C．9 D．3

【答案】　B

【解析】　因为 a>0，b>0，

所以由－－≤0 恒成立，

得 m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立，

因为＋≥2＝6，

当且仅当 a＝b 时等号成立，

所以 10＋＋≥16，所以 m≤16，

即 m 的最大值为 16.

7．已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)，直线 x＝a 与 C 的交点为 A，B(B 在 A 的下方)，直线 x

＝a 与 C 的一条渐近线的交点 D 在第一象限，若＝，则 C 的离心率为(　　)

A. B．2 C. D.

【答案】　B

【解析】　将 x＝a 代入－＝1，得 y2＝，

即 y＝±，则|AB|＝.

将 x＝a 代入 y＝x，得 y＝，则|BD|＝＋.

因为＝，所以＝，

即＝，解得 e＝2.

8．(2020·重庆模拟)已知函数 f(x)＝x3－3x＋1，若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[a，b]，使得

f(x1)＝f(x2)，且 x1≠x2，则 b－a 的最大值为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】　C

【解析】　令 f′(x)＝3x2－3＝0，解得 x＝±1，

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