小题满分练2（解析版）

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小题满分练 2

一、单项选择题

1．已知集合 A＝{－1,0,1}，B＝{x|x2<1}，则 A∪B 等于(　　)

A．{－1,1} B．{－1,0,1}

C．{x|－1≤x≤1} D．{x|x≤1}

【答案】　C

【解析】　因为集合 A＝{－1,0,1}，B ＝ {x|x2<1} ＝ {x| － 1<x<1} ，所以 A∪B ＝ {x| －

1≤x≤1}．

2．已知 i 为虚数单位，若复数 z＝2＋i，为 z 的共轭复数，则(1＋z)·等于(　　)

A．5＋i B．5－i C．7＋i D．7－i

【答案】　D

【解析】　∵z＝2＋i，＝2－i，∴(1＋z)·＝(3＋i)(2－i)＝7－i.

3．(2020·石家庄模拟)在下列函数中，值域为 R的偶函数是(　　)

A．f(x)＝ B．f(x)＝ln|x|

C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝xcos x

【答案】　B

【解析】　对于 A 选项，函数 f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，故为非奇非偶函数，不符合题

意；对于 B 选项，f(x)＝ln|x|的定义域为{x|x≠0}，且 f(－x)＝ln|x|＝f(x)，所以 f(x)

为偶函数，由于|x|>0，所以 f(x)＝ln|x|的值域为 R，符合题意；对于 C 选项，f(x)＝2x＋

≥2＝2，故 f(x)＝2x＋2－x 的值域不为 R；对于 D 选项，f(x)＝xcos x 的定义域为 R，且

f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以 f(x)＝xcos x 为奇函数，不符合题意．故

选 B.

4．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知＝，则角 C 等于(　　)

A. B. C. D.

【答案】　B

【解析】　由＝以及正弦定理可得，＝，即 b2＋a2－c2＝ab，

所以＝，即 cos C＝，

又 0<C<π，所以 C＝.

5．已知等差数列{an}的首项 a1＝1，公差为 d，前 n 项和为 Sn.若 Sn≤S8恒成立，则公差 d 的

取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

【答案】　A

【解析】　根据等差数列{an}的前 n 项和 Sn满足 Sn≤S8，

可知 a8≥0 且 a9≤0，

所以 1＋7d≥0 且 1＋8d≤0，解得－≤d≤－.

6.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾三股四弦

五”的问题，比毕达哥拉斯定理早五百到六百年．如图，现有△ABC 满足“勾三股四弦五”，

其中 AC＝3，CB＝4，点 D 是 CB 延长线上的一点，则AC·AD等于(　　)

A．3 B．4 C．9 D．不能确定

【答案】　C

【解析】　因为 AC＝3，BC＝4，AB＝5，

所以 AC2＋BC2＝AB2，所以 AC⊥CB，

所以AC·CB＝0，

所以AC·CD＝0，

所以AC·AD＝AC·(AC＋CD)＝AC2＋AC·CD＝9＋0＝9.

7.如图，点 O 为坐标原点，点 A(1,1)，若函数 y＝ax及 y＝logbx 的图象与线段 OA 分别交于

点 M，N，且 M，N 恰好是线段 OA 的两个三等分点，则 a，b 满足(　　)

A．a<b<1 B．b<a<1

C．b>a>1 D．a>b>1

【答案】　A

【解析】　由题意知 A(1,1)，且 M，N 恰好是线段 OA 的两个三等分点，所以 M，N，把 M 代

入函数 y＝ax，即＝，解得 a＝，把 N 代入函数 y＝logbx，即＝logb，解得 b＝＝，

所以 a<b<1.

8．已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，定点 M(，0)，若直线 FM 与抛物线 C 相交于

A，B 两点(点 B 在 F，M 之间)，且与抛物线 C 的准线交于点 N，若|BN|＝3|BF|，则 AF 的长为

(　　)

A. B．1 C. D.

【答案】　C

【解析】　如图所示，过点 B 作 BB′垂直于准线，垂足为点 B′，

则|BF|＝|BB′|，

由|BN|＝3|BF|，

得|BN|＝3|BB′|，

可得 sin∠BNB′＝，

∴cos∠BNB′＝，tan∠BNB′＝，

又 M(，0)，∴直线 AB 的方程为 y＝－(x－)，

取 x＝0，得 y＝，即 F，则 p＝1，

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