微专题03 双曲线-2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦

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微专题 03 双曲线

——2020 高考数学（理）二轮复习微专题聚焦

【考情分析】双曲线的定义和标准方程，双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系

仍是 2020 年高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题，分值 5~12 分，重点考

查考生的数学运算的核心素养.

考点一双曲线的定义及其标准方程

【必备知识】

1、双曲线的定义

(1) 平面内与两个定点

F1，F2

（|F1F2

|=2c>0）

的距离之差的绝对值为非零常数 2a(2a<2c)的点的

轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.

(2)集合

{

M|||MF1|−|MF2||=2a

}

,|F1F2

|=2c

,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0.

① 当

2a<|F1F2|

时,M 点的轨迹是双曲线;

② 当

2a=|F1F2

时,M 点的轨迹是两条射线;

③ 当

2a>|F1F2|

时,M 点不存在.

注：对双曲线定义的两点说明

(1)定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设

F1，F2

表示双曲线的左、右焦点,

若

|MF1

|−|MF 2

|=2a

,则点 M在右支上;

若

|MF2|−|MF1

|=2a

,则点 M在左支上.

(2)双曲线定义的双向运用

① 若

||MF1

|−|MF 2

||=2a(0<2a<|F1F2|)

,则动点 M的轨迹为双曲线.

② 若动点 M在双曲线上,则

||MF1

|−|MF 2

||=2a

2.双曲线的标准方程

焦点位置焦点在 x轴上焦点在 y轴上

图形

标准方程

a2−y2

b2=1(a>0, b>0)

a2−x2

b2=1(a>0, b>0)

焦点坐标 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c)

a,b,c 的关系

c2=a2+b2

【典型例题】

【例 1】已知双曲线

a2−y2

b2=1(a>0, b>0)

的左、右焦点分别为

F1，F2

,以

|F1F2

为直径的圆与双

曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 (　　)

16 −y2

9=1

3−y2

4=1

9−y2

16 =1

4−y2

3=1

【解析】选 C.因为以

|F1F2

为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),

所以 c=5,

a=4

，

又

c2=a2+b2

所以 a=3,b=4,所以此双曲线的方程为

9−y2

16 =1

【方法归纳提炼素养】——数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学

运算.

求双曲线标准方程的步骤

(1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确

定方程的形式.

(2)定量:是指确定

a2,b2

的数值,常由条件列方程组求解.

注:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为

mx2+ny2=1

的形式,注意标

明条件 mn<0.

【类比训练】

F1(−4,0 ), F2(4,0 )

是双曲线 C:

m−y2

4=1

(m>0)的两个焦点,点M是双曲线 C上一

点,且

∠F1MF2=600

,则

ΔF1MF 2

的面积为________.

【解析】因为

F1(−4,0 ), F2(4,0 )

是双曲线 C：

m−y2

4=1

(m>0)的两个焦点,

所以 m+4=16,所以 m=12,

设

|MF1

|=m',|MF2|=n

,因为点 M是双曲线上一点,且

∠F1MF2=600

所以|m′-n|=4 ①,

m'2+n2−2m'ncos 600=64

②,

由②-①2得m′n=16,

所以

ΔF1MF 2

的面积

S=1

2m'nsin 600=4

√

答案:

√

【方法归纳提炼素养】——数学思想是整体代换思想，核心素养是数学运算.

求双曲线中焦点三角形面积的方法

(1)方法一.

① 根据双曲线的定义求出

||PF1

|−|PF2

||=2a

② 利用余弦定理表示出

|PF1|,|PF2|,|F1F2

之间满足的关系式;

③ 通过配方,利用整体的思想求出

|PF1|⋅|PF2|

的值;

④ 利用公式

SΔF1PF 2=1

2|PF1|¿|PF2|¿sin ∠F1PF2

求得面积.

(2)方法二:利用公式

SΔF1PF 2=1

2|F1F2|¿|yp|

(

为P点的纵坐标)求得面积.

注:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件

||PF1

|−|PF2

||=2a

的变形使用,

二是特别注意

|PF1|

2+|PF2|

与

|PF1|⋅|PF2|

的关系.

考点二双曲线的几何性质

【必备知识】

标准方程

a2−y2

b2=1(a>0, b>0)

a2−x2

b2=1(a>0, b>0)

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