题型28 以二次函数为基架的综合题（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 28 以二次函数为基架的综合题

考点解析

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符

号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数

问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些

隐含条件．

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下

的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意

义．

五年中考

1．（ 2019• 成都）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c经过点 A（ ﹣ 2，5），与 x轴相交于 B（ ﹣

1，0），C（3，0）两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 D在抛物线的对称轴上，且位于 x轴的上方，将△BCD 沿直线 BD 翻折得到△BC'D，若点 C'恰

好落在抛物线的对称轴上，求点 C'和点 D的坐标；

（3）设 P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，

求直线 BP 的函数表达式．

【点拨】（1）根据待定系数法，把点 A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入 y＝ax2+bx+c

得到方程组求解即可；

（2）设抛物线的对称轴与 x轴交于点 H，则 H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得 C′B＝CB＝4，

求出 C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出 DH 的长，则 D坐标可求；

（3）由题意可知△C′CB 为等边三角形，分两种情况讨论：①当点 P在x轴的上方时，点 Q在x轴上方，

连接 BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得 BP 垂直平分 CC′，则 D点在直线 BP 上，可求出直线 BP 的

解析式，②当点 P在x轴的下方时，点 Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．

【解析】解：（1）由题意得：

{

4a− 2b+c=5，

a −b+c=0

9a+3b+c=0，

解得

{

a=1

b=−2

c=−3

，

∴抛物线的函数表达式为 y＝x22﹣x3﹣．

（2）∵抛物线与 x轴交于 B（﹣1，0），C（3，0），

∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线 x＝1，

如图，设抛物线的对称轴与 x轴交于点 H，则 H点的坐标为（1，0）， BH ＝2，

由翻折得 C′B＝CB＝4，

在Rt△BHC′中，由勾股定理，得 C′H

√

C ' B2− B H2=

√

42−22=¿

√

，

∴点C′的坐标为（1，2

√

），tan

∠C ' BH =C ' H

BH =2

√

，

∴∠C′BH＝60°，

由翻折得∠DBH

¿1

∠C′BH＝30°，

在Rt△BHD 中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°

¿2

√

，

∴点D的坐标为（1，

√

）．

（3）解：取（2）中的点 C′，D，连接 CC′，

∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，

∴△C′CB 为等边三角形．分类讨论如下：

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