题型27 以三角形、四边形为基架的综合题（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型
题型 27 以三角形、四边形为基架的综合题
考点解析
1．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
2．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可用来判定直角三角形．
3．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两
方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线
构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似
的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
4．三角形、四边形、几何变换运用
五年中考
1．（2019•成都）如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝20，tanB
¿3
4
，点 D为BC 边上的动点（点 D不与点
B，C重合）．以 D为顶点作∠ADE＝∠B，射线 DE 交AC 边于点 E，过点 A作AF⊥AD 交射线 DE 于点
F，连接 CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当 DE∥AB 时（如图 2），求 AE 的长；
（3）点 D在BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DF＝CF？若存在，求出此时 BD 的长；
1
若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出 BC，由△ABD∽△CBA ，推出
AB
CB =DB
AB
，可得 DB
¿A B2
CB =2 02
32 =25
2
，由
DE∥AB，推出
AE
AC =BD
BC
，求出 AE 即可．
（3）点 D在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF＝CF．作 FH⊥BC 于H，AM⊥BC 于
M，AN⊥FH 于N．则∠NHM ＝ ∠ AMH ＝ ∠ ANH ＝90° ，由△AFN∽△ADM ，可得
AN
AM =AF
AD =¿
tan∠ADF＝tanB
¿3
4
，推出 AN
AM
¿3
4×
12＝9，推出 CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16 9﹣＝7，再利用
等腰三角形的性质，求出 CD 即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BAD∽△DCE．
（2）解：如图 2中，作 AM⊥BC 于M．
2
在Rt△ABM 中，设 BM＝4k，则 AM＝BM•tanB＝4k
×3
4=¿
3k，
由勾股定理，得到 AB2＝AM2+BM2，
20∴2＝（3k）2+（4k）2，
∴k＝4或﹣4（舍弃），
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2BM＝2•4k＝32，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴
AB
CB =DB
AB
，
∴DB
¿A B2
CB =2 02
32 =25
2
，
∵DE∥AB，
∴
AE
AC =BD
BC
，
∴AE
¿AC ⋅BD
BC =
20 ×25
2
32 =125
16
．
（3）点 D在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF＝CF．
理由：作 FH⊥BC 于H，AM⊥BC 于M，AN⊥FH 于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，
∴四边形 AMHN 为矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，
3
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