题型25 几何图形的综合运用（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 25 几何图形的综合运用

考点解析

1．等腰三角形的性质：在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，

从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

2．等边三角形性质：等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分

成含有 30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．

3．勾股定理：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．勾股定理公式 a2+b2＝c2 的变形有： a

√

c2− b2

，b

√

c2− a2

及c

√

a2+b2

．由于 a2+b2＝c2＞a2，所以 c＞a，同理 c＞b，即直角三角形的斜边大

于该直角三角形中的每一条直角边．

4．等腰直角三角形：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形

和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是 45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等

腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径 R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均

为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；若设等腰直角三角形

内切圆的半径 r＝1，则外接圆的半径 R

√

2+¿

1，所以 r：R＝1：

√

2+¿

1．

5．菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相

垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有 2条对称轴，分别是两条对角线所在

直线．菱形的面积计算：①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积

¿1

ab．（a、b是两条对角线的长

度）

6．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2条

对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．由矩形的性质，可以得到

直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

7．正方形的性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直

平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两

条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

8．垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

9．圆周角定理

（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（2）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌

握．

（3）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角

的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化． ③定理成立的条件是

“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成

同一条弧所对的圆周角和圆心角．

10．圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对

角（就是和它相邻的内角的对角）．

（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起

来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

11．切线的性质

（1）切线的性质：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个

条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

（2）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半

径，见垂直．

12．轴对称的性质

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形

关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平

分线，就可以得到这两个图形的对称轴．

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

13．轴对称-最短路线问题

1、最短路线问题

在直线 L上的同侧有两个点 A、B，在直线 L上有到 A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确

定，即作出其中一点关于直线 L的对称点，对称点与另一点的连线与直线 L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况

要作点关于某直线的对称点．

14．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对

应边和对应角相等．

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为

x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股

定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

15．平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相

同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点

的线段平行且相等．

16．旋转的性质

①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后

的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．注意：三要素中只要任意改

变一个，图形就会不一样．

17．相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两

方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

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