题型24 函数的综合运用（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型
题型 24 函数的综合运用
考点解析
1．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数 y＝kx+b，（k≠0，且 k，b为常数）的图象是一条直线．它与 x轴的交点坐标是（
−b
k
，0）；与 y
轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．
2．反比例函数系数 k的几何意义
比例系数 k的几何意义
在反比例函数 y
¿k
x
图象中任取一点，过这一个点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是
定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
1
2
|
k|，且保持不变．
3．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数 y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|
k|．
4．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者
有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数 y＝k1x和反比例函数 y
¿k2
x
在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数 y＝k1x和反比例函数 y
¿k2
x
在同一直角坐标系中有 2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数 y＝k1x和反比例函数 y
¿k2
x
在同一直角坐标系中有 0个交点．
1
5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（
−b
2a
，
）．
①抛物线是关于对称轴 x
¿−b
2a
成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式 ．
顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与 y轴交点的纵坐标是函数解析中的 c值．
③抛物线与 x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为 x
¿x1+x2
2
．
6．二次函数的最值
（1）当 a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当 x
¿−b
2a
时，y
¿4ac −b2
4a
．
（2）当 a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当 x
¿−b
2a
时，y
¿4ac −b2
4a
．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．
7．抛物线与 x轴的交点
求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与 x轴的交点坐标，令 y＝0，即 ax2+bx+c＝0，解关于 x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b24﹣ac 决定抛物线与 x轴的交点个数．
△＝b24﹣ac＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点；
△＝b24﹣ac＝0时，抛物线与 x轴有 1个交点；
△＝b24﹣ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与 x轴的
交点坐标（x1，0），（x2，0）．
8．坐标与图形变化-平移
2
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移 a个单位，坐标 P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移 a个单位，坐标 P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移 b个单位，坐标 P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移 b个单位，坐标 P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是
把原图形向右（或向左）平移 a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应
的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上
移加，下移减．）
9．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角
度如：30°，45°，60°，90°，180°．
10．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到 y
轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符
号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问
题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
11．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，
还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
五年中考
1．（2019•成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点
A的坐标为（5，0），点 B在x轴的上方，△OAB 的面积为
15
2
，则△OAB 内部（不含边界）的整点的
3
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