题型22 方程与不等式的综合运用（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 22 方程与不等式

考点解析

1．二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次

方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方

程中的字母系数．

2．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．

3．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b24﹣ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b24﹣ac 有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

4．根与系数的关系

（1）若二次项系数为 1，常用以下关系：x1，x2是方程 x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过

来可得 p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系

数．

（2）若二次项系数不为 1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2

¿−b

，x1x2

¿c

，反过来也成立，即

a=−

（x1+x2），

a=¿

x1x2．

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未

知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由

给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还

要考虑 a≠0，△≥0这两个前提条件．

5．分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生

增根，增根是令分母等于 0的值，不是原分式方程的解．

6．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组

的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些

解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

五年中考

1．（2019•成都）已知 x1，x2是关于 x的一元二次方程 x2+2x+k1﹣＝0的两个实数根，且 x12+x22﹣x1x2＝

13，则 k的值为　﹣ 2 　．

【点拨】根据“x1，x2是关于 x的一元二次方程 x2+2x+k1﹣＝0的两个实数根，且 x12+x22﹣x1x2＝13”，

结合根与系数的关系，列出关于 k的一元一次方程，解之即可．

【解析】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k1﹣，

2+x2

2−

x1x2

¿(x¿¿1+x2)2−¿

3x1x2

＝4 3﹣（k1﹣）

＝13，

k＝﹣2，

故答案为：﹣2．

2．（2017•成都）已知 x1，x2是关于 x的一元二次方程 x25﹣x+a＝0的两个实数根，且 x12﹣x22＝10，则 a＝

　．

【点拨】由两根关系，得根 x1+x2＝5，x1•x2＝a，解方程得到 x1+x2＝5，即 x1﹣x2＝2，即可得到结论．

【解析】解：由两根关系，得根 x1+x2＝5，x1•x2＝a，

由x12﹣x22＝10 得（x1+x2）（x1﹣x2）＝10，

若x1+x2＝5，即 x1﹣x2＝2，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）24﹣x1•x2＝25 4﹣a＝4，

∴a

¿21

，

故答案为：

．

3．（2016•成都）已知

{

x=3

y=−2

是方程组

{

ax +by=3

bx+ay=−7

的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为　﹣ 8 　．

【点拨】把x与y的值代入方程组求出 a与b的值，代入原式计算即可得到结果．

【解析】解：把

{

x=3

y=−2

代入方程组得：

{

3a −2b=3①

3b −2a=−7②

，

①×3+②×2 得：5a＝﹣5，即 a＝﹣1，

把a＝﹣1代入①得：b＝﹣3，

则原式＝a2﹣b2＝1 9﹣＝﹣8，

故答案为：﹣8

4．（2015•成都）如果关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2倍，

则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　 ②③ 　（写出所有正确说法

的序号）

①方程 x2﹣x2﹣＝0是倍根方程．

②若（x2﹣）（mx+n）＝0是倍根方程，则 4m2+5mn+n2＝0；

③若点（p，q）在反比例函数 y

¿2

的图象上，则关于 x的方程 px2+3x+q＝0是倍根方程；

④若方程 ax2+bx+c＝0是倍根方程，且相异两点 M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线 y＝ax2+bx+c

上，则方程 ax2+bx+c＝0的一个根为

．

【点拨】①解方程 x2﹣x2﹣＝0得：x1＝2，x2＝﹣1，得到方程 x2﹣x2﹣＝0不是倍根方程，故①错误

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