题型20 以圆为背景的综合题（原卷版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 20 以圆为背景的综合题

考点解析

1．三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个．

2．切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

（3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半

径，见垂直．

3．切线的判定

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．

4．圆的综合题

五年中考

1．（2019•成都）如图，AB 为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦 AD，BC 相交于点 E．

（1）求证：

AC=

；

（2）若 CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，过点 C作⊙O的切线，交 BA 的延长线于点 P，过点 P作PQ∥CB 交⊙O于

F，Q两点（点 F在线段 PQ 上），求 PQ 的长．

2．（2018•成都）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点 D，O为AB 上一点，经过

点A，D的⊙O分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交AD 于点 G．

（1）求证：BC 是⊙O的切线；

（2）设 AB＝x，AF＝y，试用含 x，y的代数式表示线段 AD 的长；

（3）若 BE＝8，sinB

¿5

，求 DG 的长，

3．（2017•成都）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作圆 O，分别交 BC 于点 D，交 CA 的延长线

于点 E，过点 D作DH⊥AC 于点 H，连接 DE 交线段 OA 于点 F．

（1）求证：DH 是圆 O的切线；

（2）若 A为EH 的中点，求

的值；

（3）若 EA＝EF＝1，求圆 O的半径．

4．（2016•成都）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 CB 为半径作⊙C，交 AC 于点 D，交 AC 的延长

线于点 E，连接 BD，BE．

（1）求证：△ABD∽△AEB；

（2）当

时，求 tanE；

（3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与 BE 交于点 F，若 AF＝2，求⊙C的半径．

5．（2015•成都）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AC 的垂直平分线分别与 AC，BC 及AB 的延长线相

交于点 D，E，F，且 BF＝BC，⊙O是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交 EF 于点 G，交⊙O于点

H，连接 BD，FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断 BD 与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若 AB＝1，求 HG•HB 的值．

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