题型20 以圆为背景的综合题（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型
题型 20 以圆为背景的综合题
考点解析
1．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
2．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半
径，见垂直．
3．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
4．圆的综合题
1
五年中考
1．（2019•成都）如图，AB 为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦 AD，BC 相交于点 E．
（1）求证：
^
AC=
^
CD
；
（2）若 CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，过点 C作⊙O的切线，交 BA 的延长线于点 P，过点 P作PQ∥CB 交⊙O于
F，Q两点（点 F在线段 PQ 上），求 PQ 的长．
【点拨】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠OBC＝∠CBD，即可证
^
AC=
^
CD
；
（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得
AC
CE =CB
AC
，可得 AC＝2，由勾股定理可求 AB 的长，即可求⊙O的
半径；
（3）过点 O作OH⊥FQ 于点 H，连接 OQ，通过证明△APC∽△CPB，可得
PA
PC =PC
PB =AC
BC =2
4=1
2
，
可求 PA
¿2
√
5
3
，即可求 PO 的长，通过证明△PHO∽△BCA，
可求 PH，OH 的长，由勾股定理可求 HQ 的长，即可求 PQ 的长．
【解析】证明：（1）∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∵OC∥BD
∴∠OCB＝∠CBD
∴∠OBC＝∠CBD
∴
^
AC=
^
CD
（2）连接 AC，
2
∵CE＝1，EB＝3，
∴BC＝4
∵
^
AC=
^
CD
∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB
∴△ACE∽△BCA
∴
AC
CE =CB
AC
∴AC2＝CB•CE＝4×1
∴AC＝2，
∵AB 是直径
∴∠ACB＝90°
∴AB
2
√
5
∴⊙O的半径为
√
5
（3）如图，过点 O作OH⊥FQ 于点 H，连接 OQ，
∵PC 是⊙O切线，
∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°
∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA
∴△APC∽△CPB
3
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