题型19 反比例函数与一次函数综合题（原卷版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 19 反比例函数与一次函数综合题

考点解析

1．一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到 x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前

提下求出最值．

（3）用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．

2．反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数 y

¿k

（k≠0）的图象是双曲线；

（2）当 k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y随x的增大而减小；

（3）当 k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y随x的增大而增大．

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．

3．反比例函数系数 k的几何意义

比例系数 k的几何意义

在反比例函数 y

¿k

图象中任取一点，过这一个点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是

定值|k|．

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是

k|，且保持不变．

4．反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数 y＝

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|

k|．

5．待定系数法求反比例函数解析式

用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：

（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式 y

¿k

（k为常数，k≠0）；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；

（3）解方程，求出待定系数；

（4）写出解析式．

6．反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者

有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数 y＝k1x和反比例函数 y

¿k2

在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

①当k1与k2同号时，正比例函数 y＝k1x和反比例函数 y

¿k2

在同一直角坐标系中有 2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数 y＝k1x和反比例函数 y

¿k2

在同一直角坐标系中有 0个交点．

7．反比例函数综合题

（1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能

力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、

待定系数法和其他学科中的知识．

（2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个

函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比

较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．

五年中考

1．（2019•成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y

¿1

x+5 和y＝﹣2x的图象相交于点 A，反比

例函数 y

¿k

的图象经过点 A．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 y

¿1

x+5 的图象与反比例函数 y

¿k

的图象的另一个交点为 B，连接 OB，求△ABO 的面

积．

2．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝x+b的图象经过点 A（﹣2，0），与反比

例函数 y

¿k

（x＞0）的图象交于 B（a，4）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设 M是直线 AB 上一点，过 M作MN∥x轴，交反比例函数 y

¿k

（x＞0）的图象于点 N，若

A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点 M的坐标．

3．（2017•成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y

¿1

x的图象与反比例函数 y

¿k

的图

象交于 A（a，﹣2），B两点．

（1）求反比例函数的表达式和点 B的坐标；

（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点 P作y轴的平行线，交直线 AB 于点 C，连接 PO，

若△POC 的面积为 3，求点 P的坐标．

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