题型17 解直角三角形（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 17 解直角三角形

考点解析

1．解直角三角形的应用

（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边

的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．

（2）解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得

到实际问题的答案．

2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度 h和水平宽度 l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，

一般用 i表示，常写成 i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角 α叫做坡角，坡度 i与坡角 α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角

的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．

3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三

角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，

把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

4．解直角三角形的应用-方向角问题

（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．

（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定

在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．

五年中考

1．（2019•成都）2019 年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国

际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 A处，测得起点拱门 CD 的顶部 C的俯角为 35°，

底部 D的俯角为 45°，如果 A处离地面的高度 AB＝20 米，求起点拱门 CD 的高度．（结果精确到 1米；

参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

【点拨】作CE⊥AB 于E，根据矩形的性质得到 CE＝AB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出 AE，结

合图形计算即可．

【解析】解：作 CE⊥AB 于E，

则四边形 CDBE 为矩形，

∴CE＝AB＝20，CD＝BE，

在Rt△ADB 中，∠ADB＝45°，

∴AB＝DB＝20，

在Rt△ACE 中，tan∠ACE

¿AE

，

∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，

∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，

答：起点拱门 CD 的高度约为 6米．

2．（2018•成都）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于 2018 年5月成功完成第一次海上试验

任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛 C位于它的北偏东 70°方向，且与航母相距80

海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛 C位于它的北偏东 37°方向．如果航母继续航行至小岛 C

的正南方向的 D处，求还需航行的距离BD 的长．

（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【点拨】根据题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80 海里，在直角三角形 ACD 中，由三角函数

得出 CD＝27.2 海里，在直角三角形 BCD 中，得出 BD，即可得出答案．

【解析】解：由题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80 海里，

在直角三角形 ACD 中，CD＝AC•cos∠ACD＝27.2 海里，

在直角三角形 BCD 中，BD＝CD•tan∠BCD＝20.4 海里．

答：还需航行的距离BD 的长为 20.4 海里．

3．（2017•成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇 C游玩，

到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东 45°方向行驶一段距离到

达古镇 C，小明发现古镇 C恰好在A地的正北方向，求 B，C两地的距离．

【点拨】过B作BD⊥AC 于点 D，在直角△ABD 中利用三角函数求得 BD 的长，然后在直角△BCD 中利

用三角函数求得 BC 的长．

【解析】解：过 B作BD⊥AC 于点 D．

在Rt△ABD 中，BD＝AB•sin∠BAD＝4

√

2=¿

√

（千米），

∵△BCD 中，∠CBD＝45°，

∴△BCD 是等腰直角三角形，

∴CD＝BD＝2

√

（千米），

∴BC

√

BD＝2

√

（千米）．

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