题型13 三角形相关概念及其性质（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 13 三角形有关概念及其性质

考点解析

1．三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短

的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

（3）三角形的两边差小于第三边．

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，

容易忽略．

2．三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于 180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是 180°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平

行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

3．全等三角形的性质

（1）性质 1：全等三角形的对应边相等

性质 2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等

②全等三角形的周长相等，面积相等

③平移、翻折、旋转前后的图形全等

（2）关于全等三角形的性质应注意

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．

②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对

边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．

4．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形．

5．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

6．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式 a2+b2＝c2 的变形有：a

√

c2− b2

，b

√

c2− a2

及c

√

a2+b2

．

（4）由于 a2+b2＝c2＞a2，所以 c＞a，同理 c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边．

7．等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的

所有性质．即：两个锐角都是 45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜

边上的高为外接圆的半径 R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为 45°，高又垂直

于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径 r＝1，则外接圆的半径 R

√

2+¿

1，所以 r：R＝1：

√

2+¿

1．

8．平行线分线段成比例

（1）定理 1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

（2）推论 1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平

行于三角形的第三边．

（3）推论 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的

三边与原三角形的三边对应成比例．

9．相似三角形的性质

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