题型12 一次函数、反比例函数（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 12 一次函数、反比例函数

考点解析

1．一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（

−b

，0）或（1，k+b）作直线 y＝kx+b．

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、

纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过

原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如 x＝a，y＝b分别是与 y轴，x轴平行的直线，就不是

一次函数的图象．

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线 y＝kx+b，可以看做由直线 y＝kx 平移|b|个单位而得到．

当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．

2．一次函数的性质

一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

由于 y＝kx+b与y轴交于（0，b），当 b＞0时，（0，b）在 y轴的正半轴上，直线与 y轴交于正半轴；当 b

＜0时，（0，b）在 y轴的负半轴，直线与 y轴交于负半轴．

3．一次函数图象与系数的关系

由于 y＝kx+b与y轴交于（0，b），当 b＞0时，（0，b）在 y轴的正半轴上，直线与 y轴交于正半轴；当 b

＜0时，（0，b）在 y轴的负半轴，直线与 y轴交于负半轴．

①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；

②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；

③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；

④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．

4．一次函数图象上点的坐标特征

一次函数 y＝kx+b，（k≠0，且 k，b为常数）的图象是一条直线．它与 x轴的交点坐标是（

−b

，0）；与 y

轴的交点坐标是（0，b）．

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．

5．两条直线相交或平行问题

直线 y＝kx+b，（k≠0，且 k，b为常数），当 k相同，且 b不相等，图象平行；当 k不同，且 b相等，图象

相交；当 k，b都相同时，两条线段重合．

（1）两条直线的交点问题

两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．

（2）两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即 k值相同．

例如：若直线 y1＝k1x+b1与直线 y2＝k2x+b2平行，那么 k1＝k2．

6．反比例函数的图象

用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．

（1）列表取值时，x≠0，因为 x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边

对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求 y值．

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的

图象更精确．

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．

（4）由于 x≠0，k≠0，所以 y≠0，函数图象永远不会与 x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．

7．反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数 y

¿k

（k≠0）的图象是双曲线；

（2）当 k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y随x的增大而减小；

（3）当 k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y随x的增大而增大．

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．

8．反比例函数系数 k的几何意义

比例系数 k的几何意义

在反比例函数 y

¿k

图象中任取一点，过这一个点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是

定值|k|．

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是

k|，且保持不变．

9．反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数 y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|

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