题型10 二次函数的图象及其性质（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型
题型 10 二次函数图象及其性质
考点解析
1．二次函数的图象
（1）二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取 x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线 y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数 y＝ax2的图象向右或向左平移|
b
2a
|个单位，再向上或
向下平移|
4ac −b2
4a
|个单位得到的．
2．二次函数的性质
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（
−b
2a
，
4ac −b2
4a
），对称轴直线 x
¿−b
2a
，二次函数 y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x
＜−b
2a
时，y随x的增大而减小；x
＞−b
2a
时，
1
y随x的增大而增大；x
¿−b
2a
时，y取得最小值
4ac −b2
4a
，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x
＜−b
2a
时，y随x的增大而增大；x
＞−b
2a
时，
y随x的增大而减小；x
¿−b
2a
时，y取得最大值
4ac −b2
4a
，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线 y＝ax2的图象向右或向左平移|
−b
2a
|个单位，再向上或向
下平移|
4ac −b2
4a
|个单位得到的．
3．二次函数图象与系数的关系
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当 a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即 ab＞0），对称轴在 y轴左； 当 a与b异号时（即 ab＜0），对称轴在 y轴右．（简称：
左同右异）
③．常数项 c决定抛物线与 y轴交点． 抛物线与 y轴交于（0，c）．
④抛物线与 x轴交点个数．
△＝b24﹣ac＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点；△＝b24﹣ac＝0时，抛物线与 x轴有 1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（
−b
2a
，
4ac −b2
4a
）．
2
①抛物线是关于对称轴 x
¿−b
2a
成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式 ．
顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与 y轴交点的纵坐标是函数解析中的 c值．
③抛物线与 x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为 x
¿x1+x2
2
．
5．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故 a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出
原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求
出解析式．
6．二次函数的最值
（1）当 a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当 x
¿−b
2a
时，y
¿4ac −b2
4a
．
（2）当 a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当 x
¿−b
2a
时，y
¿4ac −b2
4a
．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．
7．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与 y轴
的交点坐标是（0，c）；
3
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