题型09 分式方程、一元二次方程（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 9 分式方程、一元二次方程

考点解析

1．分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生

增根，增根是令分母等于 0的值，不是原分式方程的解．

2．解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为 0，所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解．

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为 0，则整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程时，一定要检验．

3．一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是 2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的

最高次数是 2”；“二次项的系数不等于 0”；“整式方程”．

4．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．

5．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b24﹣ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b24﹣ac 有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

五年中考

1．（2019•成都）分式方程

x −5

x −1+2

x=¿

1的解为（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2

【点拨】先把整式方程化为分式方程求出 x的值，再代入最简公分母进行检验即可．

【解析】解：方程两边同时乘以 x（x1﹣）得，x（x5﹣）+2（x1﹣）＝x（x1﹣），

解得 x＝﹣1，

把x＝﹣1代入原方程的分母均不为 0，

故x＝﹣1是原方程的解．

故选：A．

2．（2018•成都）分式方程

x+1

x −2=¿

1的解是（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3

【点拨】观察可得最简公分母是 x（x2﹣），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程

求解．

【解析】解：

x+1

x −2=¿

1，

去分母，方程两边同时乘以 x（x2﹣）得：

（x+1）（x2﹣）+x＝x（x2﹣），

x2﹣x2+﹣x＝x22﹣x，

x＝1，

经检验，x＝1是原分式方程的解，

故选：A．

3．（2017•成都）已知 x＝3是分式方程

x −1

−2k −1

x=¿

2的解，那么实数 k的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【点拨】将x＝3代入原方程即可求出 k的值．

【解析】解：将 x＝3代入

x −1

−2k −1

x=¿

2，

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