拓展四 导数与零点、不等式的综合运用（精练）（解析版）

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拓展四 导数与零点、不等式的综合运用
【题组一 零点】
1．（2020·历下·山东师范大学附中）已知函数 ，其中 e是自然对数的底数， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 ，讨论函数 零点的个数，并说明理由．
【答案】（1）增区间是 ，减区间是 .（2）见解析
【解析】（1）因为 ，所以 .
由 得 ；由 得 .
所以由 的增区间是 ，减区间是 .
（2）因为 .
由 ，得 或 .
设 ，又 即 不是 的零点，
故只需再讨论函数 零点的个数.
因为 ，
所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值 .
① 当 即 时，无零点；
1
② 当 即 时， 有唯一零点；
③ 当 ，即 时，因为 ，
所以 在 上有且只有一个零点.
令 则 .
设 ，
所以 在 上单调递增，
所以， 都有 .
所以 .
所以 在 上有且只有一个零点.
所以当 时， 有两个零点
综上所述，当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点；
当 时， 有三个零点.
2．（2020·湖北）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，判断方程 的实根个数，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）方程 恰有三个不同的实根 ，1， ，理由见解
析.
2
【解析】（1）当 时， ，则 ，
因为 ，所以 ，
则所求切线方程为 ，即 ．
（2）当 时， ，
方程 ，即 ．
令 ，定义域为 ，则 ．
令 ，则 ，
令 ，得 ．
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．
所以 ．
又 ， ， ， ．
所以 在 上存在唯一零点，记为 ．在 上存在唯一零点，记为 ．
则 ， ．
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；
3
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