拓展四 导数与零点、不等式的综合运用（精讲）（解析版）

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拓展四 导数与零点、不等式的综合运用
考点一 零点问题
1．（2020·河南高三月考（文））已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若函数 有 3个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】（1）由题意， ，故 ，
又当 时， ，
思维导图
常见考法
1
故所求的切线方程为 ，即 .
（2）由题意， ，
令 ，得 或 ，
故当 时， ，当 时， ，当 时，
故当 时，函数 有极大值 ，
当 时，函数 有极小值 .
若函数 有 3个零点，实数 满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
【一隅三反】
1．（2020·山西运城·）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.
【解析】（1）函数 ，定义域为 ， ，
当 时， .
故 在定义域 上单调递增，此时无减区间.
当 时，令 ，得 ；
2
当 时， ，故 单调递增；
当 时， ，故 单调递减.
综上所述，当 时， 在定义域 上单调递增，此时无减区间；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知， 时， 至多一个零点，不符合题意；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
要有两个零点，需满足 ，即 .
此时 ， .
因为 ，所以 在 有一个零点；
因为 ， .
令 ， ，
所以 在 单调递增， ，
所以 ，所以 在 上有一个零点.
3
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