拓展三 含参函数单调性的分类讨论（精练）（解析版）

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拓展三 含参函数单调性的分类讨论
【题组一 导函数为一根】
1．（2020·南宁市银海三美学校期末）设函数 ．讨论函数 的单调性；
【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；（2）.
【解析】
当 时， ，∴ 在 上单调递减；
当 时，令 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增；
2．（2020·重庆高二月考）已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有极小值，求该极小值的取值范围．
【答案】（Ⅰ）：当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递
增区间为 ，单调递减区间为 ；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ，
① 当 时， ，函数 在 内单调递增，
1
② 当 时，令 得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
综上所述：当 时，函数 的单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（Ⅱ）①当 时， ，函数 在 内单调递增，没有极值；
② 当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ,
所以 ，
记 ，则 ，由 得 ，
所以 ，
所以函数 的极小值的取值范围是
3．（2020·四川乐山·高二期中（理））已知函数 ．讨论 的单调性；
【答案】分类讨论，详见解析
【解析】 定义域为 ，
因为 ，
若 ，则 ，所以 在 单调递增，
若 ，则当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增．
2
4．（2020·四川达州·高二期末（理））已知 ，函数 ， .
（1）讨论 的单调性；
（2）记函数 ，求 在 上的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1） ，则 .
当 时，当 时， ，函数 单调递增；
当 时，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减.
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2） ， ，
.
① 当 时，对任意的 ， ，函数 单调递增，
所以，函数 在 上的最小值为 ；
② 若 ，对任意的 ， ，函数 单调递减，
3
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