思想方法第5讲客观题的解法

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第5讲　客观题的解法

题型概述　数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，

解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干

和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地

选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、

数形结合法、等价转化法等．

方法一　直接法

直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定

理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择

题和填空题最基本、最常用的方法．

例1　在平面直角坐标系 xOy 中，已知 M(－1,2)，N(1,0)，动点 P满足|PM·ON|＝|PN|，则动

点P的轨迹方程是(　　)

A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．x2＝－4y

思路分析　动点 P的轨迹方程→P点满足条件→直接将 P点坐标代入化简即可

答案　A

解析　设P(x，y)，由题意得 M(－1,2)，N(1,0)，O(0,0)，

PM＝(－1－x,2－y)，ON＝(1,0)，PN＝(1－x，－y)，

因为|PM·ON|＝|PN|，所以|1＋x|＝，

整理得 y2＝4x.

直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，

多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，

这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.

方法二　特例法

从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数

或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的

情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．

例2　(1)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点 M，N满足BM＝3M

C，DN＝2NC，则AM·NM等于(　　)

A．20 B．15 C．9 D．6

思路分析　AM·NM的值→某种特殊情况下AM·NM的值→取▱ABCD 为矩形

答案　C

解析　若四边形 ABCD 为矩形，建系如图，由BM＝3M C，DN＝2NC，知 M(6,3)，N(4,4)，

所以AM＝(6,3)，NM＝(2，－1)，所以AM·NM＝6×2＋3×(－1)＝9.

(2)设椭圆 C：＋＝1的长轴的两端点分别是 M，N，P是C上异于 M，N的任意一点，则直

线PM 与PN 的斜率之积等于________．

思路分析　直线 PM，PN 斜率之积→特殊情况下的 kPM·kPN→取P点为椭圆短轴端点

答案　－

解析　取特殊点，设 P为椭圆的短轴的一个端点(0，)，又 M(－2,0)，N(2,0)，

所以 kPM·kPN＝×＝－.

特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，

但用特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，

或改用其他方法求解．

方法三　排除法

排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，

通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．

例3　(1)(2020·天津)函数 y＝的图象大致为(　　)

思路分析　选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除

答案　A

解析　令f(x)＝，则 f(x)的定义域为 R，

且f(－x)＝＝－f(x)，

所以函数为奇函数，排除 C，D.

又当 x＝1时，f(1)＝＝2，排除 B.

(2)已知椭圆 C：＋＝1(b>0)，直线 l：y＝mx＋1.若对任意的 m∈R，直线 l与椭圆 C恒有公共

点，则实数 b的取值范围是(　　)

A．[1,4) B．[1，＋∞)

C．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)

思路分析　求b的取值范围→取b的特殊值→特殊情况验证排除

答案　C

解析　注意到直线 l恒过定点(0,1)，所以当 b＝1时，直线 l与椭圆 C恒有公共点，排除 D；

若b＝4，则方程＋＝1不表示椭圆，排除 B；若 b>4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满

足题意，排除 A.故选 C.

(3)(多选)已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列说法正确

的是(　　)

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