思想方法第4讲转化与化归思想

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第4讲　转化与化归思想

思想概述　转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简

单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转

化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．

方法一　特殊与一般的转化

一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到

一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到

成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到

问题答案．

例1　(1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆

上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭

圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，则椭圆 C的蒙日圆的方程为(　　)

A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7

C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4

答案　B

解析　因为椭圆 C：＋＝1(a>0)的离心率为，

所以＝，解得 a＝3，

所以椭圆 C的方程为＋＝1，

所以椭圆的上顶点 A(0，)，右顶点 B(2,0)，

所以经过 A，B两点的切线方程分别为 y＝，x＝2，

所以两条切线的交点坐标为(2，)，

又过 A，B的切线互相垂直，

由题意知交点必在一个与椭圆 C同心的圆上，可得圆的半径 r＝＝，

所以椭圆 C的蒙日圆方程为 x2＋y2＝7.

(2)在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c成等差数列，则等于(

)

A. B. C. D.

思路分析　求→考虑正三角形 ABC 的情况

答案　A

解析　令a＝b＝c，则△ABC 为等边三角形，且 cos A＝cos C＝，代入所求式子，得＝＝.

一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的

高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.

方法二　命题的等价转化

将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目

得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的

转化．

例2　(1)由命题“存在 x0∈R，使－m≤0”是假命题，得 m的取值范围是(－∞，a)，

则实数 a的值是(　　)

A．(－∞，1) B．(－∞，2)

C．1 D．2

思路分析　命题：存在 x0∈R，使－m≤0是假命题→任意 x∈R，e|x－1|－m>0 是真命题

→m<e|x－1|恒成立→求m的范围→求a

答案　C

解析　由命题 “存在 x0∈R，使－ m≤0”是假命题，可知它的否定形式 “任意

x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，可得 m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为

同一区间，故 a＝1.

(2)若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m的取

值范围是________．

思路分析　gx在t，3上总不为单调函数→先看 gx在t，3上单调的条件→补集法求 m的

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