思想方法 第3讲 分类讨论思想

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第3讲　分类讨论思想
思想概述 　分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标
准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题
的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
方法一　由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值
的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前 n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
例1　(1)设等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S3＋S6＝2S9，则数列的公比 q是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　若q＝1，则有 S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，
但a1≠0，即得 S3＋S6≠2S9，
与题设矛盾，故 q≠1.
又S3＋S6＝2S9，①
根据数列性质 S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，②
由①②可得 S3＝2S6，
∴q3＝＝－，∴q＝－.
(2)已知函数 f(x)＝若 f(1)＋f(a)＝2，则 a的取值集合是________．
思路分析　求a→代入 f1，fa求解→讨论 a
答案　
解析　f(1)＝e0＝1，即 f(1)＝1.
由f(1)＋f(a)＝2，得 f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，所以 a＝1.
1
当－1<a<0 时，f(a)＝sin(πa2)＝1，
所以 πa2＝2kπ＋(k∈Z)．
所以 a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取 0，此时 a2＝，
因为－1<a<0，所以 a＝－.
则实数 a的取值集合为.
解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式
的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准.
方法二　由图形位置或形状引起的讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适
用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．
例2　设 F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点 P为椭圆上一点，已知点 P，F1，F2是一个直
角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则＝________.
思路分析　求→找|PF1|，|PF2|适合的条件→讨论 Rt△PF1F2的直角顶点
答案　或2
解析　若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴＝2.
综上知，＝或 2.
2
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