思想方法第2讲数形结合思想

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第2讲　数形结合思想

思想概述　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解

决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽

象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；

(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．

方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题

利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．

例1　已知函数 f(x)＝其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x的方程 f(x)＝b有三个不同的根，

则m的取值范围是________．

思路分析　方程 fx＝b有三个不同的根→函数 y＝fx的图象和直线 y＝b有三个交点→画函

数图象

答案　(3，＋∞)

解析　作出 f(x)的图象如图所示，当 x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.

要使方程 f(x)＝b有三个不同的根，则有 4m－m2<m，即 m2－3m>0.又m>0，解得 m>3.

批注　正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势．

例2　当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则底数 a的取值范围为________．

答案　{a|1<a≤2}

解析　设y＝(x－1)2，y＝logax，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．若 0<a<1，则

当x∈(1,2)时，(x－1)2<logax是不可能的，所以 a应满足解得 1<a≤2，

所以底数 a的取值范围为{a|1<a≤2}．

方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；fx<gx可转化为函

数y＝fx和函数 y＝gx图象的位置关系问题.

方法二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题

向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问

题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．

例3　已知 a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的

最大值是(　　)

A．1 B．2 C. D.

思路分析　求|c|的最大值→考虑向量 a，b，c的几何关系→通过几何意义观察|c|的最值

答案　C

解析　如图，

设OA＝a，OB＝b，OC＝c，

则CA＝a－c，CB＝b－c.

由题意知CA⊥CB，

∴O，A，C，B四点共圆．

∴当OC 为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|＝.

例4　设 P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，则点 P到点 A(－1，1)的距离与点 P到直线 x＝－

1的距离之和的最小值为________．

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