思想方法第1讲函数与方程思想

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第1讲　函数与方程思想

思想概述　函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函

数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问

题，从而使问题获得解决．

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，

通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．

方法一　运用函数相关概念的本质解题

在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．

常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．

例1　若函数 f(x)＝(a>0 且a≠1)是R上的减函数，则实数 a的取值范围为(　　)

A．(0,1) B.

C. D.

思路分析　先求出 fx＝ax是减函数时 a的范围→满足－0＋3a≥a0时a的范围→取交集

答案　B

解析　∵函数 f(x)是R上的减函数，

∴解得≤a<1.

∴实数 a的取值范围为.故选 B.

批注　在函数的第一段中，虽然没有 x＝0，但当 x＝0时，本段函数有意义，故可求出其对

应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”

应不小于第二段的最大值 f(0)，这是解题的一个易忽视点．究其原因，就是未把分段函数看

成是一个函数，一个整体．

解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减

函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的

衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．

方法二　利用函数性质求解方程问题

函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．

例2　(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)

A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2

答案　B

解析　由指数和对数的运算性质可得

2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.

令f(x)＝2x＋log2x，则 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，

∴2a＋log2a<22b＋log22b，

即f(a)<f(2b)，∴a<2b.

(2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2 020(x－1)＝－1，(y－1)3＋2 020(y－1)＝1，则 x＋y＝

________.

思路分析　观察两方程形式特征→借助函数 ft＝t3＋2 020t的单调性、奇偶性→fx－1＝f1

－y→求出 x＋y

答案　2

解析　令f ( t ) ＝ t 3

＋ 2 020 t ，则f(t)为奇函数且在 R上是增函数．

由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，

可得 x－1＝1－y，∴x＋y＝2.

批注　通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系．

函数与方程的相互转化：对于方程 fx＝0，可利用函数 y＝fx的图象和性质求解问题.

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