数学初升高无缝衔接专题讲义第12节 分式不等式和特殊的高次不等式的解法（解析版）

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【第 12 讲】 分式不等式和特殊的高次不等式的解法
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【合作探究】
探究一 简单分式不等式的解法
【例 1-1】 解不等式：
x−3
x+7<0
．
【解析】：解法 1：化为两个不等式组来解：
∵
x−3
x+7<0
⇔
{
x−3>0¿ ¿¿¿
⇔
x φ∈或
−7<x<3
⇔
，
∴原不等式的解集是
{
x|−7<x<3
}
．
解法 2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不
等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等
式直接转化为整式不等式求解．
∵
x−3
x+7<0
⇔
{
(x−3)( x+7)<0¿ ¿¿¿
⇔
−7<x<3
，
∴原不等式的解集是
{
x|−7<x<3
}
.
归纳总结：（1） ；
（2） ；
【练习 1-1】解下列不等式：
(1) (2)
【解析】：（1）原不等式可化为： ，所以原不等式的解
集为 ．
1
(2) ∵，原不等式可化为： ，所以原不
等式的解集为 ．
【例 1-2】解不等式 ．
【解析】：原不等式可化为：
所以原不等式的解集为 ．
【练习 1-2】解下列不等式
（1） （2）
【解析】：（1） ，所以原不等式的解集为
．
（2） ，所以原不等式的解集为
．
探究二 简单的高次不等式的解法
【例 2-1】解不等式： ；
解法一（列表法）：①检查各因式中 的符号均正；
② 求得相应方程的根为： ，1，3；
③ 列表如下：
-2 1 3
x+2 - + + +
x-1 - - + +
x-3 - - - +
2
各因式积 - + - +
④ 由上表可知，原不等式的解集为： ．
归纳总结：此法叫列表法，解题步骤是：
① 将不等式化为 形式（各项 的系数化为正数），令
，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数
轴分成两部分， 个分界点把数轴分成 部分……；
② 按各根把实数分成的 部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小
根的因式开始依次自上而下排列）；
③ 计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；
④ 看下面各因式积的符号写出不等式的解集．
解法二：（穿根法）
① 的根是 ，1，3，在数轴上表示这三个数，
② 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点
③ 若不等式（ 的系数化“+”后）是“> 0”，则找“线”在 轴上方的区间；
若不等式是“< 0 ”,则找“线”在 轴下方的区间.
由图可知，原不等式的解集为： ．
归纳总结：此法叫穿根法，解题步骤是：
① 将不等式化为 )形式，并将各因式 的系数化“+”；
② 求根，并在数轴上表示出来；
③ 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④ 若不等式（ 的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在 轴上方的区间；若不等式是
“<0”，则找“线”在 轴下方的区间．
3
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