数学初升高无缝衔接专题讲义第11讲 一元二次不等式的解法（解析版）

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【第 11 讲】 一元二次不等式的解法
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【基础知识回顾】
知识点 1 一元二次不等式
形如 的不等式称为关于 的一元二次不等式．
知识点 2 “三个二次”之间的关系
设
ax2+bx +c>0或ax2+bx +c<0
(
a≠0
)
相应的一元二次方程
ax2+bx +c=0
(
a≠0
)
的两根为
x1、x2且x1≤x2
，
Δ=b2−4ac
，则不等式的解的各种情况如下表：
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
（
a>0
）的图象
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
ax2+bx +c=0
(
a>0
)
的根
有两相异实根
x1, x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=− b
2a
无实根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{
x|x<x1x或>x2
}
{
x|x≠− b
2a
}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{
x|x1<x<x2
}
∅
∅
一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
(1) 化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根 ．那么“ ”型的解为
(俗称两根之外)；“ ”型的解为 (俗称两根之间)；
1
(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 ，结合完全
平方式为非负数的性质求解．
【合作探究】
探究一 因式分解后分类讨论解一元二次不等式
【例 1-1】解不等式 ．
【解析】：原不等式可以化为： ，
于是： 或
所以，原不等式的解集是 ．
归纳总结：当把一元二次不等式化为 的形式后，只要左边可以分
解为两个一次因式，即可运用本题的解法．
【练习 1-1】解下列不等式
（1） （2） （3） （4）
【解析】：(1) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是 ；
(2) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是 ；
(3) 不 等 式 可 化 为 ， 即 ， ∴ 不 等 式 的 解 集 是
；
（4）不等式可化为 ∴ 不等式的解是 ．
【例 1-2】解下列不等式：
2
(1) (2)
【分析】：要先将不等式化为 的形式，通常使二次项系数为正数．
【解析】：(1) 原不等式可化为： ，即
于是： ， 所 以 原 不 等 式 的 解 是
．
(2) 原不等式可化为： ，即
于是：
所以原不等式的解是 ．
【练习 1-2】解下列不等式
（1） ； （2） ．
【解析】：(1) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是 ；
（2） 的 根 为 ， ∴ 不 等 式 的 解 集 是
；
【例 1-3】不等式 的解是_____________．
【答案】：
3
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