数学初升高无缝衔接专题讲义第9节 分式方程与无理方程的解法（解析版）

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【第 9讲】 分式方程与无理方程的解法
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【基础知识回顾】
知识点 1 分式方程
分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程
知识点 2 无理方程
根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．
【合作探究】
探究一 分式方程的解法
方法一、去分母化分式方程为一元二次方程
【例 1-1】解方程 ．
【分析】：去分母，转化为整式方程．
【解析】：原方程可化为：
方程两边各项都乘以 得，
即 ， 整理得： ，解得： 或 ．
检验：把 代入 ，不等于 0，所以 是原方程的解；
把 代入 ，等于 0，所以 是增根．
所以，原方程的解是 ．
归纳总结：(1) 去分母解分式方程的步骤：
① 把各分式的分母因式分解；
② 在方程两边同乘以各分式的最简公分母；
③ 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；
④ 解一元二次方程；
1
⑤ 验根．
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验．
方法二、用换元法化分式方程为一元二次方程
【例 1-2】解方程
【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结
构特点，设 ，即得到一个关于 的一元二次方程．
【解析】：设 ，则原方程可化为： 解得 或 ．
(1) 当 时 ， ， 去 分 母 ， 得
；
(2)当 时， ．
检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0．
所以， ， 都是原方程的解．
归纳总结：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程
体现了化归思想
【练习 1】解方程 ．
【分析】：注意观察方程特点，可以看到分式 与 互为倒数．
2
【解析】：设 ，则
原方程可化为： ．
(1)当 时， ；
(2)当 时， ．
检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0．
所以，原方程的解是 ， ， ．
探究二 无理方程的解法
方法一、平方法解无理方程
【例 2-1】解方程
【解析】：移项得： ， 两边平方得：
移项，合并同类项得： ，解得： 或
检验：把 代入原方程，左边 右边，所以 是增根．
把 代入原方程，左边 = 右边，所以 是原方程的根．
所以，原方程的解是 ．
归纳总结：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
① 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；
② 两边同时平方，得到一个整式方程；
③ 解整式方程；
④ 验根．
3
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