数学初升高无缝衔接专题讲义第7讲 二次函数的图象和性质（解析版）

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【第 7讲】 二次函数的图象和性质
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【基础知识回顾】
知识点 1 二次函数的图象与解析式
二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中 x1，x2是二次函数图象与 x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶
点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
知识点 2 二次函数的最值
二次函数 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．
在初中阶段大家已经知道：
当 时，函数在 处取得最小值 ，无最大值；
当 时，函数在 处取得最大值 ，无最小值．
今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题．
1
【合作探究】
探究一 求二次函数解析式
【例 1-1】已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y＝x＋1上，并且图象经过点
（3，－1），求二次函数的解析式．
【解析】∵二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为
2．
又顶点在直线 y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为 ，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴ ，解得 a＝－2．
∴二次函数的解析式为 ，即 y＝－2x2＋8x－7．
归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，
然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的
条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
【例 1-2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到 x轴的距离等于 2，求此二
次函数的表达式．
【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的
图象与 x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
【解法一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为 y＝a(x＋3) (x－
1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到 x轴的距离 2，∴|－4a|＝2，即 a＝ ．
所以，二次函数的表达式为 y＝ ，或 y＝－ ．
【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线 x＝－1，又
由顶点到 x轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为 2，或－2，于是，又可以将二次函数的表
达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．
【解法二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线 x＝－1．
又顶点到 x轴的距离为 2，∴顶点的纵坐标为 2，或－2．
于是可设二次函数为 y＝a(x＋1)2＋2，或 y＝a(x＋1)2－2，
由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或 0＝a(1＋1)2－2．
2
∴a＝－ ，或 a＝ ．
所以，所求的二次函数为 y＝
－
(x＋1)2＋2，或 y＝(x＋1)2－2．
归纳总结：
上述两种解法分别从与 x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点
式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
【例 1-3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达
式．
【解析】设该二次函数为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
22 ,
8 ,
8 4 2 ,
a b c
c
a b c
 
 
 
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为 y＝－2x2＋12x－8．
探究二 二次函数的最值
【例 2-1】当 时，求函数 的最大值和最小值．
【分析】：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此
得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
【解析】：方法一：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
方法二：配方法
当 时， ，
当 时， ．
【例 2-2】当 时，求函数 的最大值和最小值．
【解析】方法一：作出函数的图象．当 时， ，
3
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