数学初升高无缝衔接专题讲义第6讲 一元二次方程根与系数的关系（解析版）

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【第 6讲】 一元二次方程根与系数的关系
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【基础知识回顾】
知识点 1 一元二次方程的根的判断式
一元二次方程 ，用配方法将其变形为：
(1) 当 时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：
(2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
(3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把
叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为：
知识点 2 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 的两个根为：
所以： ，
韦达定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：
1
2
【合作探究】
探究一 与根个数之间的关系
【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) (2) (3)
【解析】：(1) ，∴ 原方程有两个不相等的实数根．
(2) 原方程可化为：
，∴ 原方程有两个相等的实数根．
(3) 原方程可化为：
，∴ 原方程没有实数根．
归纳总结：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【练习 1-1】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的
范围：
(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根
(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．
【解析】：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ．
【练习 1-2】已知实数 、 满足 ，试求 、 的值．
【解析】：可以把所给方程看作为关于 的方程，整理得：
由于 是实数，所以上述方程有实数根，因此：
3
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