数学初升高无缝衔接专题讲义第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法（解析版）

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【第 5讲】 绝对值和绝对值不等式的解法
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【基础知识回顾】
知识点 1 绝对值的代数意义
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
知识点 2 绝对值的几何意义
一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
知识点 3 两个数的差的绝对值的几何意义
|a−b|
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
【合作探究】
探究一 绝对值的性质
【例 1-1】到数轴原点的距离是 2的点表示的数是（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．4
【答案】A
【例 1-2】已知|x|=5，|y|=2，且 xy＞0，则 x-y的值等于（　　）
A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7 或-3
【答案】C
【例 1-3】已知：abc≠0，且 M=，当 a，b，c取不同值时，M有 ____种不同可
能．
【答案】4
【解析】当 a、b、c都是正数时，M= 3；
当a
、
b
、
c中有一个负数时，则 M=1；
当a
、
b
、
c中有 2个负数时，则 M= -1；
当a
、
b
、
c都是负数时，M=-3．
归纳总结：
1
【练习 1】已知 是非零整数，且 ，求 的值
【解析】：由于 ，且 是非零整数，则 一正二负或一负二正，
（1）当 一正二负时，不妨设 ，原式 ；
（2）当 一负二正时，不妨设 ，原式 ．
原式 ．
探究二 绝对值的应用
【例 2】若 ，则 ．
【解析】 ，所以 ．
归纳总结：绝对值具有非负性，即若 ，则必有 ， ， ．
【练习 2-1】练习 1： ， ________；__________
【解析】 ．
【练习 2-2】若 ，则 ．
【解析】由题意， ，所以 ．
探究三 零点分段法去绝对值
【例 3】化简代数式
【解析】⑴当 时，原式 ；
⑵ 当 时，原式 ；
⑶ 当 时，原式 ．
2
综上讨论，原式 ．
归纳总结：
【练习 3】化简代数式
【解析】当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
综上讨论，原式 ．
探究四 绝对值函数
【例 4-1】画出 的图像
【解析】（1）关键点是 ，此点又称为界点；
（2）接着是要去绝对值
当 时， ；当 时， ．
（3）图像如右图
说明：此题还可以考虑该图像可由 y=|x|的图象向右平移一个单位后得到
【例 4-2】画出 的图象
【解析】（1）关键点是 和
（2）去绝对值
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
3
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