数学初升高无缝衔接专题讲义第3讲 根式与根式的运算（解析版）
【第 3讲】 根式与根式的运算
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【基础知识回顾】
知识点 1 二次根式的概念
一般地，形如 的代数式叫做二次根式.
知识点 2 二次根式性质
(1)
(2)
(3)
(4)
二次根式 的意义
【合作探究】
探究一 根式的简化
【例 1-1】将下列式子化为最简二次根式：
（1） ； （2） ． (3)
【解析】（1） ；
（2） ．
(3) 原式=
归纳总结：注意性质 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字
母的取值分类讨论．
【练习 1-1】 化简下列各式：（1） ； (2)
【解析】（1） ；
(2) 原式=
1
【例 1-2】（1）若 ，则 的取值范围是 ；
（2）等式 成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
【解析】（1）
（2）由于 。故选 C
归纳总结：
【练习 1-2】（1） ；
（2）若 ，求 的值．
【解析】（1）
（2）因为 所以 ，此时
探究三 有理化因式和分母有理化
【例 3-1】计算： ．
【解析】解法一： ＝ ＝ ＝ ＝ ．
解法二： ＝ ＝ ＝ ＝ ．
【例 3-2】化简： ．
【解析】原式＝
2
=
＝ ＝ ．
【例 3-3】化简：（1） ； （2） ．
【解析】（1）原式
．
（2）原式=，∵ ，∴ ，所以，原式＝ ．
【例 3-4】已知 ，求 的值 ．
【解析】 ∵ ，
，
∴ ．
归纳总结：
【练习 3】（1） ＝ ；
（2）若 ，则 ．
【答案】（1） （2） ．
【解析】（1）＝ ＝
（2）
=
3
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