数学初升高无缝衔接专题讲义第1讲 乘法公式（解析版）

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【第 1讲】 乘法公式
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【基础知识回顾】
知识点 1 平方公式
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
（3）三数和平方公式 ；
知识点 2 立方公式
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）两数和立方公式 ；
（4）两数差立方公式 ．
【合作探究】
探究一 平方公式的应用
【例 1】计算：
（1）
(4+m)(16−4m+m2)
（2）
(1
5m−1
2n)( 1
25 m2+1
10 mn+1
4n2)
（3）
(a+2)(a−2)(a4+4a2+16 )
（4）
(x2+2xy +y2)( x2−xy+y2)2
（5）
(x2−
√
2x+1
3)2
【解析】（1）原式=
43+m3=64 +m3
（2）原式=
(1
5m)3−( 1
2n)3=1
125 m3−1
8n3
（3）原式=
（4）原式=
(x+y)2(x2−xy+y2)2=[( x+y)( x2−xy +y2)]2
=( x3+y3)2=x6+2x3y3+y6
1
（5）原式=
[x2+(−
√
2x)+ 1
3]2
=( x2)2+(−
√
2x)2+(1
3)2+2x2(−
√
2)x+2x2×1
3+2×1
3×(−
√
2x)
¿x4−2
√
2x3+8
3x2−2
√
2
3x+1
9
归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结
构．
【练习 1】计算：
【解析】原式=
探究二 立方公式的应用
【例 2】计算：（1） （2）
【解析】（1）
（2）
归纳总结：常用配方法： ， ．
【练习 2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1) (2)
分析： (1)中， ，(2)中 ．
【解析】(1)
(2)
探究三 整体代换
2
【例 3】已知 ，求：（1） ；（2） ．
【解析】 ，所以（1） ．
（2） ．
归纳总结：
（1）本题若先从方程 中解出
x
的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．
（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．
【练习 3-1】已知 ，
求：（1） ；（2） ．
【解析】 ，
∴x≠0
， ， ．
（1） ；
（2） ．
【练习 3-2】已知 ， ，求 的值．
【解析】 ．
3
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