人教A版（2019）必修（第二册）第六章 平面向量及其应用知识点
第六章 平面向量及其应用
1．向量的概念与向量的模
（1）向量概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的
量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
海拔、温度、角度都是数量，不是向量。向量可以平移，与位置无关。
（2）向量的几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量
的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如
AB
→
、
BC
→
，…字母表示，用小写字母
a
→
、
b
→
，…表示．
有向线段的长度为模，表示为
|
AB
→
|
、
|
a
→
|
．
（3）向量的模：
AB
→
的大小，也就是
AB
→
的长度（或称模），记作
|
AB
→
|
．
（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作
0
→
，零向量的长度为 0，方向是任意的．
（5）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与
AB
→
共线的单位向量是
±AB
→
|
AB
→
|
）．
（6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
（7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．如果
a
→
，
b
→
，
c
→
是非零向量且方向相同或相反（向量所
在的直线平行或重合），则
a
→
∥
b
→
∥
c
→
。任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，
任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．平行向量没有传递性。相等向量一定是共
线向量，但共线向量不一定相等。
（8）相反向量：与
a
→
长度相等方向相反的向量叫做
a
→
的相反向量，记作 -
a
→
．
2．向量的加法运算
1
（1）三角形法则：
AB
→
+BC
→
=AC
→
特征：首尾相接的几个向量相加，等于从首向量的起点指向末向量的终点的向量。
（2）平行四边形法则：ABCD 为平行四边形，则
AB
→
+AD
→
=AC
→
特征：同起点的两个向量相加，等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量（起点不变）
（3）向量的加法性质
①
a
→
+0
→
=0
→
+a
→
=a
→
；
a
→
+¿
（
− a
→
）
¿0
→
；
②
a
→
+b
→
=b
→
+a
→
；
③（
a
→
+b
→
）
+c
→
=a
→
+¿
（
b
→
+c
→
）．
④
|
a
→
+b
→
|
≤
|
a
→
|
+
|
b
→
|
4．向量的减法运算
法则：
OA
→
−OB
→
=BA
→
特征；同起点的两个向量相减，等于由减向量终点指向被减向量终点的向量.
(一个向量等于由第三点指向终点的向量减去由第三点指向起点的向量)
5．向量数乘和线性运算
（1）向量的数乘：实数 λ与向量
a
→
的积是一个向量，记作 λ
a
→
，它的大小为
|
λ a
→
|
＝
|
λ
|
|
a
→
|
，其方向与 λ的正负有关．
若
|
λ a
→
|
≠0，当 λ＞0时，λ
a
→
的方向与
a
→
的方向相同，当 λ＜0时，λ
a
→
的方向与
a
→
的方向相反．当 λ＝0时，λ
a
→
与
a
→
平
行．
2
对于非零向量 a、b，当 λ≠0 时，有
a
→
∥
b
→
⇔
a
→
=¿
λ
b
→
.
（2）向量数乘运算法则
① 1
a
→
=a
→
；（﹣1）
a
→
=− a
→
；
②（λμ）
a
→
=¿
λ（μ
a
→
）
¿
μ（λ
a
→
）；
③（λ+μ）
a
→
=¿
λ
a
→
+¿
μ
a
→
；
④ λ（
a
→
+b
→
）＝λ
a
→
+¿
λ
b
→
．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量，注意
a
→
− a
→
=0
→
。
一般地，λ
a
→
+¿
μ
b
→
叫做
a
→
，
b
→
的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果
l
→
=¿
λ
a
→
+¿
μ
b
→
，则称
l
→
可以用
a
→
，
b
→
线
性表示．
（3）向量
a
→
(
a
→
≠0
→
)与向量
b
→
共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使
b
→
=¿
λ
a
→
.
（4）A、B、C三点共线 ⇔
A C
→
∥
AB
→
⇔
AC
→
=λ AB
→
.
6．平面向量数量积
（1）向量的夹角：对于两个非零向量
a
→
，
b
→
如果以 O为起点，作
OA
→
=a
→
，
OB
→
=b
→
，那么射线 OA，OB 的夹角 θ叫
做向量
a
→
与向量
b
→
的夹角，其中 0≤θ≤π．
（2）向量的数量积：如果两个非零向量
a
→
，
b
→
的夹角为 θ，那么我们把
|
a
→
||
b
→
|
osθ叫做
a
→
与
b
→
的数量积，记做
a
→
• b
→
即：
a
→
• b
→
=
|
a
→
||
b
→
|
cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为 0，即：
0
→
•
a
→
=¿
0．
3
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