热点12 计数原理（解析版）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

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热点 12 计数原理
【命题趋势】
计数原理包含排列组合与二项式定理，在新高考数学中考查与以往考查题型、难度没有什么变化，通
常是以选择题的形式呈现。另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍。高考中通常难度不是很大，主要
考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合。二项式定理也是高考考查的一个重点，主
要考查二项式定理的展开。本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的
解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解。
【满分技巧】
捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相
离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素 ，
如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的 n 项即可，但是应注意是二项式系数还是
系数。
【考查题型】选择题、填空
【常考知识】计数原理、排列组合、二项式定理
【限时检测】（建议用时：50 分钟）
一、单选题
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）） 的展开式中
x
3
y
3的系数为（
1
）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开
式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为 3，1 即可求得 的系数，问题得解.
【详解】
展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
2
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
2．（2020 年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学
只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120 种B．90种
C．60 种D．30 种
【答案】C
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】
首先从名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
3．（2020 年新高考全国卷Ⅱ数学考试题文档版（海南卷））要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名
学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2 种B．3 种C．6 种D．8 种
3
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