热点05 导数及其应用（解析版）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

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热点 5 导数及其应用

【命题形式】

在新高考中，导数板块和以往考察的没有多大的变化，但内容删去了定积分和微积分这两个知识内

容。考察形式还是常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数

学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容O。函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问

题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的。

对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本

概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值

的关系以及最值的求解。本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导

数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧。

【满分技巧】

对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的

单调性的判定。因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值

问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定

的。所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性。

对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学

会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值。

恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与

特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而

判定出函数的最值。

函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用

特殊值验证法，特殊值一般情况下是 0,1 等特殊数字进行验证求解。

对于比较复杂的导数题目，一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导

数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在。

含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：

一、双变量常见解题思路：

1、双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2 转化为构造新函数；

二、含参不等式常见解题思路：

1、参数分离；2、通过运算化简消参（化简或不等关系）；3、将参数看成未知数，通过它的单调关

系来进行消参。

【考查题型】选择题，填空，解答题 22 题

【常考知识】导数概念和运算、导数的几何意义、利用导数求单调区间、最值、极值

【限时检测】（建议用时：90 分钟）

一、单选题

1．（2021·天津市第四十二中学高三其他模拟）已知函数，则（）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】

对函数求导，令，可求出，即可得到函数的表达式，进而求出即可.

【详解】

由题意，，所以，解得，

故 .

故选：C.

【点睛】

本题考查求函数值，考查导数的计算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

2．（2021·江苏苏州中学高三其他模拟）函数在点处的切线斜率为

，则的最小值是（）

A．10 B．9 C．8 D．

【答案】B

【解析】

对函数求导可得，根据导数的几何意义，，即

= =( )· )= +5≥2+5=4+5=9，当且仅当即

时，取等号.所以的最小值是 9.

故选B.

点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件

3．（2021·四川遂宁·高三零模（理））已知函数，则使得

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