热点04 函数及其性质（解析版）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

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热点 04 函数及其性质

【命题形式】

函数是高考数学中的必考内容，函数中的基本处理方法和解题思想贯穿于整个高中数学，可以说函

数是整个高中数学的核心。从难度上来说，难度较大的函数小题经常以压轴题目出现，是客观题中最易出

难题的部分。函数题目的功能都以“选拔性”为主，是高考最具区分度的能力考点。因此，新高考中函数

与性质任然是考察的重点内容，要想在新高考中获得较为理想的成绩，抓好这一内容是必须的。下面分析

一下新高考数学函数这部分的基本命题方向。

1、考察的题型：函数与性质主要集中在客观题上，往年平均每年 3 个，足见其重要性；特别注意在新

题型多选题上的考察。

2、考察的内容：主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期

性、对称性、平移、零点等，分段函数和绝对值函数都是重要载体。不仅有对函数知识内部的综合考查，

也有与其他主干知识（数列、解析几何、概率、三角等）相关联的交汇考查。

3、考察的数学思想：函数这部分内容有着极深的思想性，函数与方程思想、数形结合的思想、分类

讨论的思想、转化与化归的思想、特殊与一般的思想、配方法、放缩法、换元法等在每年的考题中得到了

很好的体现。

4、高频考题类型：（1）函数的性质与图像；（2）函数零点、方程的根（零点、根的个数或已知个

数求参数取值范围）；（3）解函数不等式；（4）分段函数求值问题；（5）求参量的取值范围问题；

（6）以数学文化和实际生活为背景的题型。

【满分技巧】

1、做函数与性质题时要注意以下几点：

(1)要克服对函数内容的畏难情绪，首先要抓好基本的常规题型，高考考得是熟练，考的是能力。因为我

们所作的所有题目都不是全新的，它们都是需要不断转化，将新问题转化为老问题、熟悉的问题，因此熟

练是能力的基础，很难设想一个对知识不熟练的学生能在高考考场上，灵感迸发、才若泉涌，在抓好常规

题型的前提下，还要特别关注建立在基本题型下的非常规思路；

(2)在易错点上要格外注意，不要忽视定义域、该分类时分类讨论，该舍解时根据条件舍去；

(3)有关不等式的题目都要联想到函数单调性，看看是否需要根据特征构造函数；

(4)注意解题时极端化思想、排除法、赋值法这些解选填题的解题技巧的灵活运用；

(5)不要忽视函数图像的力量，数形结合思想可以帮助你绝地逢生。

2、热点问题的解题策略：

热点 1：函数的性质

策略：函数的四大性质是高考对函数内容考查的重中之重，其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容。在

高考命题中，函数常与方程、不等式等其他知识结合进行考查。

热点 2：函数图像的判断

策略：根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的

函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图像问题的基本方法。

热点 3：函数的零点

类型一：函数零点（即方程的根）的确定

常见的有：函数零点大致存在区间的确定，零点个数的确定，两函数图像交点的横坐标或有几个交点的确

定。

策略：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是等号两端对应的函数类型不同的方程，多以

数形结合法求解。

类型二：由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题

策略：利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式进行求解。

热点 4：不等式恒成立时逆求参数的取值范围（最值）

策略：直接含参讨论函数的性质，有点烦琐，却是正统解法，要仔细体会和掌握。分离变量法是有效方法。

【常考知识】基本初等函数图象和性质、函数的零点和方程的解、函数的实际应用

【限时检测】（建议用时：60 分钟）

一、单选题

1．（2020·天津市高考数学试卷）函数的图象大致为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点

对称，选项 CD 错误；

当时，，选项 B 错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，

判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称

性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

2．（2020年新高考山东数学卷）基本再生数

0与世代间隔

是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数

指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，

可以用指数模型：描述累计感染病例数

(

)随时间

(单位:天)的变化规律，指数增长率

与

0，

近似满足

0 =1+

.有学者基于已有数据估计出

0=3.28，

=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累

计感染病例数增加 1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）

A．1.2天 B．1.8 天

C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【详解】因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

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