期中测试卷01（解析版）

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人教 A版2019 必修第二册 期中测试卷 01
高一数学
满分：150 分 时间：120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一 单项选择题（5分×12=60 分）
1. 设复数
z
满足
(
1+i
)
z=2i
，则
|
z
|
=¿
（ ）
A.
1
2
B.
√
2
2
C.
√
2
D.2
【C】【解析】
z=2ⅈ
1+ⅈ=2ⅈ(1−i)
(1+ⅈ)(1−i)=i
(
1−i
)
=1+i
,所以
故选 C.
2. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE·BD=（ ）
A.
−2
B.
6
C.
2
D.
−6
【C】【解析】由题意有
AE· BD=
(
AD +DE
)
·
(
BA+AD
)
=
(
AD+1
2AB
)
·
(
AD−AB
)
=A D2+1
2AB· AD−AB · AD−1
2A B2=4+0−0−4=2,
故选 C
3. 已知点
O
是 Δ
ABC
所在平面内一点，点 D 为 BC 边的中点，且
AO=2OD , mOA+OB +OC=0,则
m的值为
（ ）
A.
1
B.
2
C.
−1
D.
−2
【A】【解析】如图，
OB+OC=2OD ,
因为 AO=2OD , 所以 2OD−2mOD=0,
故m=1,
故选 A
4. 在 平 面 直 角 坐 标 系
xOy
中 ， 已 知 四 边 形
ABCD
是 平 行 四 边 形 ，
AB=
(
1,−2
)
, AD =(2,1)
则
AB· AC=¿
（ ）
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
【A】 【 解 析 】 由 题 意 知
DC=AB=
(
1,−2
)
, AC=AD+DC =
(
3,−1
)
, AB · AC=1×3+
(
−2
)
×
(
−1
)
=5,
故选 A
5. 已知
a=
√
10 , a· b=−5
√
30
2
，且
(
a−b
) (
a+b
)
=−15
，则向量
a
与
b
的夹角为（ ）
A.
2π
3
B.
3π
4
C.
5π
6
D.
π
3
【C】 【 解 析 】 因 为
(
a−b
) (
a+b
)
=−15 ,
所 以
|
b
|
=5,因为 a ·b=−5
√
30
2,所以
|
a
||
b
|
cos <a , b≥−5
√
30
2
,即
cos <a , b≥−
√
3
2,
所以向量
a
与
b
的夹
1
角为
5π
6
.
6. 复数
z
在复平面内表示的点
Z
如图所示，则使得
z2· z1
是纯虚数的一个
z1
是（ ）
A.
4+3i
B.
3+4i
C.
4−3i
D.
3−4i
【C】【解析】由图可知复数
z=−2+i , 则z2=3−4i , 对于 A , z2
(
4+3i
)
=24−7i不是纯虚数,排除 A ; 对于 B , z2
(
3+4i
)
=25 不是纯虚数 ,排除 B; 对于C , z2
(
4−3i
)
=−25 i是纯虚数 , C 正确;对于 D , z2
(
3−4i
)
=−7−24 i不是纯虚数,排除 D ,故选C .
7. 设 Δ
ABC
的内角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c
，若 Δ
ABC
的面积为
a2+b2−c2
4
，且
c=
√
2
，那么 Δ
ABC
外接
圆的半径为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【A】 【 解 析 】
SΔ ABC =a2+b2−c2
4=2ab cosC
4=1
2ab cosC ,又SΔ ABC =1
2ab sinC , 故tanC=1, C=π
4.
由正弦定理可得2R=c
sinC =2
√
2
2
=2,所以 Δ ABC 外接圆的半径 R=1,故选 A
8. 已知
a=
(
sinα , 1−4 cos 2 α
)
,b=
(
1,3 sinα −2
)
, α ∈(0,π
2)
，若
a/¿b
，则
tan
(
α−π
4
)
=¿
（ ）
A.
1
9
B.
−1
7
C.
2
7
D.
−2
7
【B】 【 解 析 】 因 为
a
//
b , 所以 sin α
(
3sinα −2
)
−
(
1−4 cos 2 α
)
=0,化简得 5 sin2α+2sinα−3=0,解得sinα=3
5或−1
(
舍
)
,所以 cosα=
√
1−sin2α=4
5, tanα=sinα
cosα =3
4,所以 tan
(
α−π
4
)
=tanα−1
1+tanα =−1
7,
故选 B
9. 在正方体
ABCD−A1B1C1D1
中，点
E
是棱
C C1
上的一个动点，平面
BE D1
交棱
AA1
于点
F
.给出下
列四
个结论，错误的是（ ）
A.存在点
E
，使得
A1C1
//平面
BE D1F
B.对于任意的点
E
，平面
A1C1D
⊥平面
BE D1F
C.存在点
E
，使得
B1D
⊥平面
BE D1F
D.对于任意的点
E
，四棱锥
B1−BE D1F
的体积均不
变
【C】【解析】对于 A，当点
E
位于棱
C C1
的中点时，
A1C1
//
EF
，因为
A1C1⊈
平面
BE D1F
，
EF ⊆
平面
BE D1F
，所以
A1C1
//平面
BE D1F
，故排除 A；对于 B，容易证明
B1D
⊥平面
A1C1D
，因为
B D1⊆
平面
BE D1F
，所以平面
A1C1D
⊥平面
BE D1F
，故排除 B；对于 D，设正方体
ABCD−A1B1C1D1
的 棱 长 为
a
， 因 为 四 棱 锥
B1−BE D1F
的 体 积
2
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