期末测试卷03（参考答案）

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人教 A版2019 必修第二册 期末测试卷 03
高一数学 参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D D C A C B A C D C ABD
二、填空题
13.【
3+i
】因为
z1=1+2i, z1+z2=2+i ,
所以
z2=2+i−
(
1+2i
)
=1−i .
所以
z1· z2=
(
1+2i
) (
1−i
)
=3+i
14.【
π
3
】
(
a+2b
)
·
(
a−b
)
=¿a∨¿2+
|
a
||
b
|
cos<a , b>−2
|
b
|
2=−8,¿
解得
cos <a , b>¿−1
2
，所以
与
b
的夹角为
π
3
15.【0.85】由互斥事件的概率公式，所求概率为 P=0.25+0.45+0.15=0.85
16.【
64 π
3
】如图，取 AD 的中点 E，连接 PE，则 PE⊥平面 ABCD，设外接球的球
心为
O
，连接 AC，BD 交于
O '
，直线 PB 与 CD 所成的角即直线 PB 与 AB 所成的
角，即∠ABP，在 Rt△DAB 中，
O'B=
√
22+42
2=
√
5,
设
PE=x ,
则
PE=
√
12+x2
,
PB=
√
x2+17 ,
在△PAB 中，
PA2=42+PB2−2×4× PB · cos ∠ABP
，解得
x=
√
3(舍负)
，
所以
OO'=
√
3
3,
设外接球的半径为 R，则
R=
√
1
3+5=4
√
3
3
,所以该外接球的表面积
为
4πR2=64 π
3.
1
17.(1)因为
(
a−b
)
·
(
a+b
)
=1
2
，所以
a2−b2=
|
a
|
2−¿b∨¿2=1
2¿
，
又因为
|
a
|
=1, a
·
b=1
2
,所以
|
b
|
=
√
2
2,
所以
cos <a , b≥a · b
¿a∨¿b∨¿=
√
2
2.¿
即向量
a
,
b
的夹角为
π
4
(2)
|
a−2b
|
=
√
(a−2b)2=
√
a2−4a · b+4b2=1.
18.(1)因为
a=b cosC +
√
3
3c sinB ,
所以
sinA=sinB · cosC +
√
3
3sinC · sinB
，
所以
sin
(
B+C
)
=sinB · sinC +
√
3
3sinC · sinB
,
即
sinB· cosC +cosB · sinC=sinB· cosC +
√
3
3sinC · sinB ,
所以
cosB · sinC=
√
3
3sinC· sinB
,因为
sinC ≠ 0
，∴
tanB=
√
3,
所以
B=π
3
(2)由余弦定理得
b2=a2+c2−2ac · cosB=a2+c2−ac
,因为
2b=a+c
，
所以
(a+c
2)
2
=a2+c2−ac
,化简得
(a−c)2
，所以
a=c
,又因为
B=π
3
，所
以△ABC 为等边三角形.
19.(1)设 DM 与 FG 交于点 P，连接 PE.
在△BCD 中，易知 FG//BC，∴
DP
P M =DF
FB =2
1.
∵
λ=1
3
，∴
D E
EA =2
1
,∴
DP
P M =D E
EA
，∴在△AMD
中，
PE//AM，又∵PE
⊂
平面 EFG，AM
⊄
平面 EFG，
∴AM//平面 EFG.
(2)∵AB=AC，DB=DC，M 为 BC 中点，∴AM⊥BC，DM⊥BC，又∵AM∩DM=M，所
以
BC⊥平面 ADM.∵FG//BC，∴FG⊥平面 ADM，又∵FG
⊂
平面 EFG，所以平面
ADM⊥平面 EFG， 得证.
20.(1)截面 AEGF 如图所示，其中点 G 为
棱 CC1上靠近点 C1的四等分点.
2
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