期末测试卷02（参考答案）

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期末测试卷 02
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A B C D A C C ABC AB BCD AB
二、填空题
13.【1】设复数
z=a+bi ,
则
1+a+bi
1−(a+bi)=2i ,
所以
(
1+a
)
+bi=2b+2
(
1−a
)
i ,
所以
{
1+a=2b
b=2(1−a),
解得
{
a=3
5
b=4
5
，所以
z=
√
a2+b2=1
.
14.【12】200×
60
200+400+300+100 =12
件
15.【5：3：2】因为
所以
2
(
⃗
PA+
⃗
PC
)
=−3
(
⃗
PB+
⃗
PC
)
,
设 F 为 AC 中点，
G 为 BC 中点，则
⃗
PA+
⃗
P C=2
⃗
PF ,
⃗
PB+
⃗
PC=2
⃗
PG ,
所以
2
⃗
PF=−3
⃗
PG ,
所以 F，P，G 三点共线，且
PF=3
2PG
，GF 为△ABC 的中位线，设
h1, h2
分别为△APC 和△BPC 在 PC 边上的高，所以
S△APC
S△BPC
=
1
2× PC × h1
1
2× PC × h2
=h1
h2
=PG
PF =3
2.
因为
S△AP B=1
2S△ABC
，所以△APB，△APC，△BPC 的面积之比为 5:3:2
16.【72π】如图，因为 DA=DC=6，AB=3
√
6
，AC=2BC=6
√
2
，所以 DA2+DC2=AC2，即
DA⊥DC，BA⊥BC，所以△ABC 和△ACD 均为直角三角形.
公共斜边为 AC.取 AC 的中点 E，连接 BE，DE，则 AE=
BE=CE=DE，所以点 E 为三棱锥 D-ABC 的外接球球心，则
三棱锥外接球的半径 R=3
√
2
.所以三棱锥的外接球的表
面积为 4πR2=72π.
17.(1)由题意得
{
m2−5m−6=0,
m2−2m−3≠0,
解得
{
m=6或m=−1,
m≠ 3且m≠−1,
所以
m=6
.
1
(2)复数
z
在复平面内对应的点的坐标为
(m2−5m−6,m2−2m−3)
，因为点的坐标
满足
x−y+9＞0
，所以
(
m2−5m−6
)
−
(
m2−2m−3
)
+9＞0
.解得
m＜2
，所以
m
的取值
范围为(-∞，2)
18.(1)由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：
0.1-(0.010+0.020+0.030+0.012)=0.028，成绩不低于 120 分的频率为：
(0.030+0.028+0.012)×10=0.7；所以高三年级不低于 120 分的人数为：
0.7×1000=700 人.
x=105 ×0.1+115 ×0.2+125 ×0.3+135 ×0.28+145 ×0.12=126.2
(2)由频率分布直方图知，成绩在[140,150]的人数是 6，记女生为 A，B，男
生 为 c,d,e,f ， 从 这 6 人 中 抽 取 2 人 的 情 况 有
AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共 15
种.其中至少有一名女生的情况有 9 种，故至少有一名女生的概率为
9
15 =3
5
.
19.(1)由正弦定理及
√
3c+b
(
sinA−
√
3cosA
)
=0
可得，
√
3sinC+sinBsinA−
√
3sinBcosA=0
.又
A+B+C=π
.
∴
sinC=sin
(
A+B
)
=sinAcosB+cosAsinB ,
∴
√
3sinAcosB+
√
3cosAsinB+sinBsinA−
√
3sinBcosA=0.
∴
√
3sinAcosB+sinBsinA=0.
又
A∈π
，∴
sinA≠ 0
，
∴
√
3cosB+sinB=0, B=2π
3
.
(2)由余弦定理
b2=a2+c2−2ac · cosB
，
得
49=(c−a)2+3ac=4+3ac
，解得
ac=15.
∴
S△A B C=1
2ac · sinB=1
2×15 ×
√
3
2=15
√
3
4.
20.(1)证明：连接 BD，交 AC 于点
O
，连接
EO
，∵四边形 ABCD 为正方形，∴
O
是
BD 的 中 点 . 又 E 是 PD 的 中 点 ， ∴
EO
//
PB
. 又 PB
⊄
平 面 EAC ， EO
⊂
平 面
EAC,∴PB//平面 EAC.
(2)∵底面 ABCD 为正方形，∴ CD⊥AD.∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面
PAD∩平面 ABCD=AD，∴CD⊥平面 PAD.∵AE
⊂
平面 PAD，∴CD⊥AE.又∵侧面
PAD 是正三 角形 ，E 为 PD 的中点，∴ AE⊥PD.又 PD∩CD=D，∴AE⊥平面
PCD.∵AE
⊂
平面 ABE，∴平面 ABE⊥平面 PCD.
2
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