考点55 随机抽样、用样本估计总体-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 55 随机抽样、用样本

估计总体

【命题解读】

随机抽样、用样本估计总体在高考中是出题频率比较高，其中抽样方法容易出选择题，

频率分布直方图考的比较多，常结合样本的数字特征出题，这部分出题比较灵活，多结合

目前的实际问题出题，考查分析问题的能力，以及处理数据的能力。

【命题预测】

预计 2021 年的高考随机抽样还会出题，出题形式可以是选择、填空，也可以是解答，

在解答题中常与概率等联合出题，考查分析问题能力和计算能力。

【复习建议】

1.掌握各种抽样方法，理解频率分布直方图；

2.理解样本的数字特征，并会计算数字特征。

考向一　随机抽样的方法

1.简单随机抽样

(1)抽取方式:逐个不放回抽取;

(2)每个个体被抽到的概率相等;

(3)常用方法: 抽签法和随机数法.

2.分层抽样

(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数

量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.

(2)分层抽样的应用范围:

当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

1. 【2020 全国高三专题练习】某人从一鱼池中捕得 120 条鱼，做了记号后再放回池中，经

过一段时间后，再从该鱼池中捕得 100，经过发现有记号的鱼有 10 条（假定该鱼池中鱼的

数量既不减少也不增加）则池中大约有鱼（）

A．120 B．1000 条C．130 条D．1200 条

【答案】D

【解析】设池中有大鱼约 x条，则由题意可知，解得，故池中大鱼约

有1200 条．

故选：D.

2. 【2020 全国高三专题练习】某地区有高中生人，初中生有人，小学生

人，此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及形成原因，要从本地区的中小

学生中抽取部分学生进行调查，已知抽取的高中生人数为人，则该地区教育部门共抽取

了人进行调查（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由地区高中生人，初中生有人，小学生人，设共抽取了人，

若抽取的高中生人数为人，

根据分层抽样知：，解之得，

故选：D

考向二样本的数字特征

1.作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);

(2)决定组距与组数;

(3)将数据分组;

(4)列频率分布表;

(5)画频率分布直方图.

2.频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.

(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加, 组距减小,相应的频率折线图

会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

3.样本的数字特征

(1)众数、中位数、平均数

数字特征定义与求法优点与缺点

众数

一组数据中重复出现次数

最多的数

众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数,但

它对其他数据信息的忽视比较明显,使它无法客观

地反映总体特征

中位数

把一组数据按从小到大的

顺序排列,处在中间位置的

一个数据(或两个数据的平

均数)

中位数等分样本数据所占频率,它不受少数几个极

端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值

的不敏感有时也会成为缺点

平均数

如果有n个数据 x1,x2,…,xn,

那么这n个数的平均数

x1+x2+…+xn

平均数与每一个样本数据有关,可以反映出更多的

关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极

端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降

低

(2)标准差、方差

① 标准差:样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,s=

√

n[( x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]

,其中 xi(i=1,2,3,…,n)是样本数据,n是样本容量,

是样

本平均数.

②方差:标准差的平方 s2.

s2=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2].

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