考点38 直线与圆锥曲线的位置关系-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 38 直线与圆锥曲线的

位置关系

【命题解读】

直线与圆锥曲线的位置关系是高考中必考重要知识点之一，每年的高考题都要涉及到

这一知识点，在考查中主要是直线与圆锥曲线方程的联立求解最为常见，在解题中还要注

意数形结合的应用，在出题上主要以中高档题目为主，往往出现在解答题的压轴题上，注

重考查学生的分析问题，解答问题的能力。

【命题预测】

预计 2021 年的高考直线与圆锥曲线的考查变化不是很大，重点还是在于考查学生的解

答能力，分析能力，计算能力等。

【复习建议】

1.掌握直线的方程与圆锥曲线的方程，会联立方程求解；

2.掌握数形结合的运用，会分析问题，求解问题。

考向一　直线与椭圆的位置关系求解

1. 直线与椭圆位置关系的判定方法

判断直线与椭圆位置关系的方法只能使用代数方法，而不能使用几何法．即把直线方

程与椭圆方程联立，消去 y(或x)得到关于 x(或y)的一元二次方程．利用判别式 Δ＝b2－4ac

判别．

Δ>0⇔有两个公共点；

Δ＝0⇔有一个公共点；

Δ<0⇔没有公共点．

2. 弦长公式

设直线 l：y＝kx＋m与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时，可有弦长

|AB|＝

＝

＝ |x1－x2|＝ ·，

或|AB|＝ |y1－y2|＝ ·.

3. 中点弦问题

直线与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦 AB 中点有关的问题称为中点弦问题．

这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将 A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得

＋＝1，①　＋＝1，②；①－②，得＋＝0，

即＋＝0.③

设M(x0，y0)为AB 的中点，则有

同时有直线 AB 的斜率 kAB＝.⑥

将④⑤⑥代入③中得 kAB＝－.

常用此法来解决中点弦问题及对称问题．

1. 【2020 广东河源高二期末（理）】已知离心率为的椭圆的左､

右顶点分别为 A，B，点 P为该椭圆上一点，且 P在第一象限，直线与直线交于

点C，直线与直线交于点 D，若，则直线的斜率为（）

A．或 B．C．或 D．或

【答案】B

【解析】由，得 .

设，则 .

设( )，则，直线的方程为，则 C的坐标

直线 BP 的方程为，则 D坐标 .

所以，解得 (舍去)或.

故选：B.

2. 【2020 全国高二课时练习】已知 O为坐标原点，F是椭圆 C：的

左焦点，A，B分别为 C的左，右顶点.P为C上一点，且 PF⊥x轴.过点 A的直线 l与线段

PF 交于点 M，与 y轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C的离心率为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】如图取与重合，则由直线

同理由

,故选 A.

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