考点13 函数与方程-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 13 函数与方程

【命题解读】

函数与方程是高考的一个考点，求方程的根、函数的零点的个数问题以及零点存在性

定理判断零点是否存在都是考试的出题方向.备考时应理解函数的零点，方程的根和函数图

象与 x轴的横坐标的等价性.

【命题预测】

预计 2021 年的高考函数与方程还是一个重要的考点，在此部分要注意第一函数零点个

数以及所在区间的判断方法，第二由函数的零点求参数的取值范围.

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解函数与方程的根和函数图象与 x轴的横坐标的等价性；

2.掌握判断函数零点的个数方法；

3.掌握函数零点求参数的取值范围.

考向一　函数零点个数及零点所在区间

1.函数零点的定义

对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0的实数 x叫作函数 y=f(x)(x∈D)的零点.

2.等价关系

方程 f(x)=0有实数根⇔函数 y=f(x)的图像与 x轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.

3.函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0那么函数

y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c也就是方程 f(x)=0的根.

1. 【2019 重庆南开中学月考】函数 f(x)=ln x+2x-6的零点一定位于区间 (

)

A.(1,2) B.(2,3)

C.(3,4) D.(4,5)

【答案】B

【解析】由题可知,函数 f(x)=ln x+2x-6在其定义域上连续,又f(2)=ln 2+2×2-6=ln 2-

2<0,f(3)=ln 3+2×3-6=ln 3>0,故函数 f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2,3)上,

故选 B.

2.【2019 潍坊三模】已知 f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数,且f(x)=f(4-x),则函数 f(x)的零点

个数至少为 (

)

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】C

【解析】

∵

f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数,

∴

f(0)=0,且其他零点关于原点对称,

∴

零点个数为奇数,排除选项 B,D,

又

∵

f(x)=f(4-x),

∴

f(0)=f(4)=0,f(-4)=-f(4)=0,

∴

f(-4)=f(4+4)=f(8)=0,

f(-8)=-f(8)=0,

∴

f(x)的零点有 0,±4,±8,至少 5个,故选 C.

考向二　函数的零点求参数的取值范围

已知函数的零点求参数的值或取值范围方法：直接法、分离参数法、数形结合法.

1. 【2019 山东省高三月考】函数若函数只

有一个零点，则可能取的值有（）

A．2 B．C．0 D．1

【答案】ABC

【解析】∵ 只有一个零点，

∴函数与函数有一个交点，

作函数函数与函数的图象如下，

结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；

当时，，可得，令可得，所以函数在时，

直线与相切，可得 .

综合得：或 .

故选：ABC.

2. 【2019 吉林普通中学调研】已知函数 f(x)=

{

x+3 , x>a,

x2+6x+3 , x ≤ a ,

若函数 g(x)=f(x)-2x恰有 2

个不同的零点,则实数 a的取值范围为

.

【答案】[-3,-1)∪[3,+∞).

【解析】由题意得 g(x)=

{

x+3 - 2 x,x>a,

x2+6x+3 -2 x,x ≤ a ,

即g(x)=

{

3 - x,x>a,

x2+4x+3 , x ≤ a ,

函数 y=x2+4x+3

和函数 y=3-x 的图像如图所示,因为 g(x)恰有 2个不同的零点,即g(x)的图像与 x轴恰有 2个

交点.

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