考点10 指数与指数函数-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 10 指数与指数函数
【命题解读】
指数函数是高中函数内容的核心知识点之一，在历年的高考中主要是以简单题目为主，
指数幂的运算，指数函数的图象和性质都是要求掌握的知识点。指数函数作为一种重要的
函数模型，要充分理解它的应用。
【命题预测】
预计 2021 年的高考对于指数函数部分的考察还是以指数幂的运算和指数函数的图象与
性质为主要出题方向。
【复习建议】
集合复习策略：
1.理解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算；
2.掌握指数函数的概念，图象和性质；
3.理解指数函数模型的应用。
考向一　指数幂及指数幂的运算
1．幂的概念：
① 正数的正分数指数幂:
a
m
n
=
n
√
am
(a>0,m,n∈N*,且n>1).
② 正数的负分数指数幂:
a
-m
n
=
1
a
m
n
=
1
n
√
am
(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义.
2．幂的运算：
①aras=ar+s (a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars (a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr (a>0,b>0,r∈Q).
3．无理指数幂：
1
一般的无理数指数幂 aα（a>0,α 为无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性
质同样适用于无理数指数幂.
1. 计算:(
3
√
2
×
√
3
)6+(-2019)0-4×
-1
2
+
4
√
( 3 - π)4
=
　　　　
.
【答案】99+π
【解析】(
3
√
2
×
√
3
)6+(-2019)0-4×
16
49
-1
2
+
4
√
( 3 - π)4
=(
2
1
3
)6×(
3
1
2
)6+1-4×
4
7
2×
(
-1
2
)
+π-3
=4×27+1-4×
7
4
+π-3=99+π.
2. 已知 x+x-1=3,则
x
3
2+x
-3
2-3
x2+x-2 -6
的值为
　　　　
.
【答案】C
【解析】若 x+x-1=3,则(x+x-1)2=9,即x2+x-2=7,(
x
1
2
+
x
-1
2
)2=x+2+x-1=5,
又因为 x+x-1=3>0,所以 x>0,
x
1
2
+
x
-1
2
=
√
5
,
因为
x
3
2
+
x
-3
2
=(
x
1
2
+
x
-1
2)
(x+x-1-1)=2
√
5
,
所以
x
3
2+x
-3
2-3
x2+x-2 -6
=
2
√
5 -3
7 - 6
=2
√
5
-3.
考向二　指数函数的概念、图象和性质
y=ax(a>0且a≠1) a>1 0<a<1
图像
定义域 R
值域 (0,+∞)
性质 过定点(0,1)
当x>0时,y>1; 当x<0时, 0<y<1当x>0时, 0<y<1; 当x<0时,
2
y>1
在R上是增函数 在 R上是减函数
1.【2019 青海西宁月考】指数函数 y＝f(x)的图象经过点(m
，
3)，则 f(0)＋f(－m)＝______.
【答案】
【解析】设 f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，所以 f(0)＝a0＝1. 且f(m)＝am＝3. 所以 f(0)＋f(－m)＝1＋a
－m＝1＋＝.
2. 【2020 河南省林州一中高二月考（理）】函数 的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】作出函数 的图象，如下图所示，
将 的图象向左平移 个单位得到 图象.
故选：B
3. 【2020 山东省高一期末】如图，某湖泊的蓝藻的面积 （单位： ）与时间 （单位：
月）的关系满足 ，则下列说法正确的是（ ）
3
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