考点09 幂函数及函数应用-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 09 幂函数及函数应用

【命题解读】

幂函数是一种基本初等函数，主要考察是幂函数的图象以及幂函数的性质解决相关问

题；对于函数应用的考察，主要体现在函数模型的实际应用，往往以实际应用题为主。

【命题预测】

预计 2021 年的高考对于幂函数来说最多出一个选择题，以幂函数的图象和性质应用为

主，函数模型以分段函数、二次函数的实际应用为主要题型。

【复习建议】

集合复习策略：

1.掌握幂函数的图象和性质；

2.掌握函数模型，会利用函数模型解决实际问题.

考向一　幂函数的图象和性质

1．幂函数：形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x是自变量,α是常数.

2．常见幂函数：

函数 y=x y=x2y=x3y=

y=x-1

图像

性质定

义

域

R R R {x|x≥0} {x|x≠0}

值

域

R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}

奇

偶

奇函数f 偶函数f 奇函数f 非奇非偶奇函数f

性函数

单

调

性

在R上单调递

增

在(-∞,0]上f单

调递减;在(0,+∞)

上f单调递增

在R上单调递增

在[0,+∞)上单调

递增

在(-∞,0)和

(0,+∞)上f单

调递减

公

共

点

(1,1)

1. 【2019 山东济南月考】函数 y＝的图象大致是(　　)

【答案】C

【解析】y＝＝x，其定义域为 x∈R，排除 A，B，又 0<<1，图象在第一象限为上凸的，排

除D．

故选 C.

2. 【2020 四川省高三其他（理）】幂函数 f(x)=

xa2-10 a+23

(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间

(0,+∞)上是减函数,则a=(

)

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】C

【解析】由题可知,a2-10a+23 为偶数且 a2-10a+23<0(a∈Z),得a=5.

故选：C

3. 当0<x<1 时，函数 f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________________.

【答案】h(x)>g(x)>f(x)

【解析】如图所示为函数 f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，

由此可知，h(x)>g(x)>f(x)．

考向二　函数的应用

1. 函数应用：一次函数、二次函数、幂函数等一些基本初等函数模型的应用.

2.函数模型：提炼问题---收集数据---分析数据---建立函数模型---求模、检验、还原

1. 【2019 宁夏银川月考】国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的不纳税；超过

800 元而不超过 4 000 元的按超过部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全稿酬的 11%纳税．

若某人共纳税 420 元，则这个人的稿费为(　　)

A．3 000 元 B．3 800 元

C．3 818 元 D．5 600 元

【答案】B

【解析】由题意可建立纳税额 y关于稿费 x的函数解析式为

y＝

显然由 0.14(x－800)＝420，可得 x＝3 800.

故选 B.

2. 【2019 河北唐山联考】 “好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费

者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入 R与广告费 A之间满足关系 R＝a(a为常数)，

广告效应为 D＝a－A

．

那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为 ______

__.(用常数 a表示)

【答案】a2

【解析】令 t＝(t≥0)，则 A＝t2，∴D＝at－t2＝－2＋a2，∴当 t＝a，即 A＝a2时，D取得最

大值．

题组一

1. 【2019 山东临沂月考】已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则 m＝(　　)

A．1　　　 B．2　　　　

C．1或2　　 D．3

2. 已知幂函数 y=xn,y=xm,y=xp的图像如图 2-8-2所示,则(

)

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