高一物理辅导讲义专题08 万有引力的综合应用——教师版

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专题 8 万有引力的综合应用（教师版）

一、目标要求

目标要求重、难点

求解中心天体质量与密度重难点

宇宙速度与天体自转不瓦解问题重点

双星问题重点

天体运动中的追及相遇问题重点

二、知识点解析

1．中心天体的质量求解

(1)利用重力加速度 g求解

若已知地球的半径 R和地球表面的重力加速度 g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，则有：

，可以求得地球质量．

(2)利用圆周运动求解

若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，半径为 R，根据万有引力提供向心力，即：

，可求得地球质量．

若已知月球绕地球匀速圆周运动的半径 R和月球运动的线速度 v，由于地球对月球的万有引力提供月

球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得，解得地球的质量为．

若已知月球运行的线速度 v和运行周期 T，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向

心力，根据牛顿第二定律得，，将以上两式消去 R，解得．

2．中心天体的密度求解

通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期 T、半径 r，由万有引力等于向心力，即，

得天体质量

(1)若已知天体的半径 R，则天体的密度

(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨迹半径 r等于天体的半径 R，其周期为 T，则天体的密度

．

3．宇宙速度及其意义

(1)第一宇宙速度

人造卫星的环绕速度随着卫星轨道半径 r的增大而减小，当轨道半径取最小值 R时，人造卫星的最大

环绕速度即为第一宇宙速度．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度．

①第一宇宙速度的两种求解方法

方法一：由于地球对卫星的万有引力是卫星环绕运动的向心力，即，则有．式中

R取地球半径 km，地球质量 kg，则有第一宇宙速度 km/s．

方法二：由于地球对卫星的万有引力约等于卫星所在处的重力，这个重力就是卫星环绕地球运动的向

心力．所以，则．式中 R取地球半径 km，g为地球重力加速度 m/s2，则

有第一宇宙速度 km/s．

由第一宇宙速度的两种表达式可以看出，第一宇宙速度的值由中心星体决定，可以说任何一颗恒星都

有自己的第一宇宙速度，都应以或表示，式中 G为万有引力常量，M为中心星体的质量，

g为中心星体表面的重力加速度，R为中心星体的半径．

②第一宇宙速度的意义

第一宇宙速度是物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称最小发射速度、最大环绕

速度、近地环绕速度，其值为： m/s．

第一宇宙速度是人造卫星的最小地面发射速度．一个质量为 m的卫星在地面被发射入轨，设发射速度

为v0．

若，则，即卫星入轨后恰好环绕地球做匀速圆周运动．

若v0 > v1，则，即卫星所受万有引力不足以提供足够的向心力，卫星入轨后将先做离心运动，

其轨迹可能是椭圆，抛物线或双曲线．

若v0 < v1，则，即卫星所受万有引力大于卫星所需向心力．卫星将做靠近圆心的运动而落回

地面．可见要在地面上将卫星送入轨道，需要 km/s，即人造卫星的最小地面发射速度为

km/s．

(2)第二宇宙速度

当卫星的发射速度等于或大于 11.2 km/s 的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的

人造行星，或飞到其它行星上去，我们把 v2=11.2 km/s 叫做第二宇宙速度，也称为脱离速度．第二宇宙速

度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度．

如果卫星的发射速度大于 7.9 km/s 而小于 11.2 km/s，卫星将做椭圆运动．

(3)第三宇宙速度

当卫星的发射速度等于或大于 16.7 km/s 时，物体就可以摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙

空间中去，我们把 v3=16.7 km/s 叫做第三宇宙速度，也称为逃逸速度．第三宇宙速度是挣脱太阳系而飞向

太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度．

4．天体运动中的追及相遇问题

两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两天体相距最近．若两环绕天体的运动轨道在同一平

面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天

体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时相距最远．

设卫星 1(离地球近些)与卫星 2某时刻相距最近，如果经过时间 t，两卫星与地心连线转过的角度相差

的整数倍，则两卫星又相距最近，即：；如果经过时间，两卫星与地心连线半

径转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，即：．.

5．天体自转不瓦解问题

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