专练3 带电粒子在电场、磁场中运动典题(一)-【冲刺高考 摘金夺银】2021年物理计算题专练

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《冲刺高考 摘金夺银》计算题专练之
带电粒子在电场、磁场中运动典题(一)
1．如图所示，在 xOy 平面的第一象限中，存在磁感应强度大小为
2
4 10B T
 
，方向垂直于纸面向里的
有界匀强磁场，磁场区域在以 O为圆心、半径为 R=2m 的四分之一圆内，在第二象限中存在范围足够大
的匀强电场，电场强度大小为
2
5 10 N/C
、方向沿 x轴正方向.在t=0 时刻，有 n个完全相同的比荷
7
5 10 C/kg
q
m 
的带正电粒子从 O点沿 x轴正方向同时射入磁
场，它们的速度大小分别为
0
v
、
0
2v
、
0
3v
、
0
4v
、
0
5v
……
，
已知
5
0
5 10 m/sv 
，不计粒子间的作用，求：
（1）速度为
0
v
的粒子在电场中运动时离 y轴的最大距离 d；
（2）若 n=8，求最先离开磁场的粒子离开磁场时的时刻 t；
（3）在 t=0 时刻射入的 n个粒子中，在运动过程中通过 y轴的粒子数目.
【典题特征】解答第(3)小问“在运动过程中通过 y轴的粒子数目”，容易犯错的是：把运动直径等于电
场宽度 R的粒子当做经过 y轴的最边缘粒子进行求解，即临界条件分析错误。
【答案】（1）0.5m （2）
6
10 s
6
（3）5
【解析】
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹为半圆，垂直于 y轴射入电场，在电场中，沿水平方向，粒子
做匀减速运动，由
10 2
2.5 10 m/s
FqE
am m
= = = ´
电
则
2
00.5m
2
v
da
= =
（2）在磁场运动的粒子，周期相同，设最先离开磁场的粒子的速度为
0 0
n v
，则其在磁场中做匀速圆周运
动的半径为
0 0 0
m
4
mn v n
rqB
= =
当
0
8n=
时，其运动的时间最短为
6
1 1 2 10 s
6 6 6
m
t T qB
p p
-
= = ´ = ´
（3）当粒子在磁场中偏转后垂直于 x轴时，将恰好不能从 y轴射入，如图所示
1
粒子在磁场运动的时间为
1
4T
，其半径为
0 0 0
m
4
mn v n
rqB
= =
由几何关系可得
2R r
可得
0
5.67n=
则在运动过程中通过 y轴的粒子数目为 5
2．如图所示，在 xoy 平面内，有许多电子从坐标原点 O不断以大小
为
0
v
的速度从不同的方向射入第一象限．现加上一个垂直于 xOy 平
面向里的磁感应强度为 B的匀强磁场，要求进入该磁场的电子穿过
该磁场后都能平行于 y轴向 y轴负方向运动．已知电子的质量为 m、
电荷量为 e．（不考虑电子间的相互作用力和重力，且电子离开 O点
即进入磁场．）
（1）求电子做圆周运动的轨道半径 R；
（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围（用阴影线表示）；
（3）求该磁场的最小面积．
【典题特征】运用磁聚焦原理分析本题的带电粒子运动轨迹特点，更显简单明了。
磁聚焦原理：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果粒子圆轨迹半径与
圆形磁场的半径相等，则粒子射出磁场时的速度方向与入射点的切线方向平行，如图
所示。把磁聚焦原理图与题目条件对比，立可得出磁场最小面积范围。
【答案】（1）
0
mv
ReB
；（2）见解析，（3）最小面积：
2 2
0
2 2
2
2
m v
e B
【解析】
(1)设电子在磁场中运动的半径为 R，由牛顿第二定律得：
2
0
v
ev B m R
＝
，
0
mv
ReB
＝
．
(2)如图所示，初速度沿 y轴正方向的电子运动的轨迹构成磁场的“最小面积”对应的上边界 a，其表达式
为：
2 2 2
(x R y R  ）
①，（其中
0 2x R 
，
0y R 
）
当电子与 x轴成
角入射时，电子从坐标为
(x y， ）
的P点射出磁场，则所有出射点的方程有：
2 2 2
(x R y R  ）
②
上式即为磁场的右下边界 b．
2
O
P
当电子与 x轴成
0
角入射时，电子的运动轨迹构成磁场的左下边界 c，其表达式为：
2 2 2
(x R y R） 
③
由①②③所包围的面积就是磁场的最小范围，如图所示.
（3）最小面积：
 
22 2
2 2
20
2 2
4 4
2
3 2
( ) 2 2
Rm v
R R
S R e B
 
  ＝ ＝
3．如图所示，在坐标系 xOy 的第一象限中存在
(n n
为奇数
)
个宽度均为 d、磁感应强度大小均为 B的匀
强磁场，各磁场区域紧密连接，且左、右两侧边界相互平行，第 1个磁场区域的左边界为 y轴，磁场方向
垂直纸面向外，相邻磁场区域的磁场方向相反，在第 n个磁场区域的右边界上有长为 2d的探测板 PQ，探
测板的下边缘 Q与x轴相距 2.2d。坐标原点 O处的粒子源以某一特定速度在 xOy 平面内不断向磁场区域
发射质量为 m、电荷量为
q
的粒子，方向与 x轴正方向成
30
角，每秒发射粒子的总数为 N0，通过改
变粒子发射速度的大小，可以使粒子从不同位置射出磁场。
已知
sin53 0.8
，
cos53 0.6
，
3 1.73
，不计粒子
重力且忽略粒子间的相互作用．
(1)若粒子从(d，0)点射出磁场，求粒子发射速度大小 v1；
(2)若粒子均垂直打到探测板上并全部被反向弹回，且弹回
速度大小为打板前速度大小的
5
8
，求：
① 探测板受到的平均作用力大小；
②n的所有可能值，并求出 n取最大值时，粒子在磁场中运动的总时间
.(t
不计粒子与探测板发生碰撞的
时间
)
【典题特征】抓住各区域运动轨迹的对称性是解题的关键。第(2)问还隐含了粒子与探测板碰撞后的反向
运动，此运动过程的隐蔽性是许多学生都没想到的。
【答案】（1）
qBd
m
（2）①
0
13
4
N qBd
②n的可能值有9、11、13、15；
83
12
m
qB
【解析】
(1)由几何关系，
1
r d
3
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